麦克斯韦方程组

Maxwell's Equations
来自场方程+电荷守恒，这组方程是物理定律的典范，以简洁优美的形式描述了电磁现象的全部规律。

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ \nabla \times \vec{E} & = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{B} & = 0 \\ \nabla \times \vec{B} & = μ_{0} \vec{j} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

麦克斯韦方程组是经典电动力学的核心方程组，由詹James Clerk Maxwell 在19世纪中叶建立。它统一了电场、磁场、电荷和电流之间的关系，并预言了电磁波的存在，从而揭示了光的电磁本质。

一、方程组内容

麦克斯韦方程组通常以微分形式表示，适用于描述电磁场在空间中每一点的行为：

1. 高斯电场定律

Gauss's Law for Electricity

\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

物理意义：电场线起源于正电荷，终止于负电荷。它表明电荷是电场的源。电场散度（ $\nabla \cdot E$ ）与电荷密度（ $ρ$ ）成正比。 $ϵ_{0}$ 是真空介电常数 Vacuum Permittivity。

2. 高斯磁场定律

Gauss's Law for Magnetism

\nabla \cdot B = 0

物理意义：磁场线是闭合的，没有磁单极子。这意味着磁场没有源或汇，磁场散度（ $\nabla \cdot B$ ）处处为零。

3. 法拉第电磁感应定律

Faraday's Law of Induction

\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}

物理意义：变化的磁场会产生电场。电场旋度（ $\nabla \times E$ ）与磁场随时间的变化率（ $- \frac{\partial B}{\partial t}$ ）成正比。这是发电机和变压器工作的基础。

4. 安培 -麦克斯韦定律

Ampere-Maxwell Law

\nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}

物理意义：电流和变化的电场都会产生磁场。磁场旋度（ $\nabla \times B$ ）由传导电流密度（ $J$ ）和位移电流 Displacement Current 密度（ $ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ ）共同决定。 $μ_{0}$ 是真空磁导率 Vacuum Permeability。

位移电流：麦克斯韦在安培定律中引入的这一项是革命性的。它表明变化的电场也能产生磁场，这使得电磁波的存在成为可能，并确保了电荷守恒定律在所有情况下的成立。

二、实际作用

预测电磁波

麦克斯韦方程组最重要的推论是预言了电磁波的存在。通过联立求解这些方程，可以推导出电场和磁场在真空中以波的形式传播，其传播速度 $c$ 由以下关系给出：

c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ϵ_{0}}}

计算出的 $c$ 值与当时已知的光速高度吻合，从而证明了光本身就是一种电磁波。

三、意义与影响

麦克斯韦方程组的建立是19世纪物理学最伟大的成就之一，它：

统一了电与磁：将电学、磁学和光学统一到一个理论框架中。
奠定了现代技术基础：是无线电、电视、雷达、光纤通信等现代电磁技术的基础。
推动了相对论的发展：麦克斯韦方程组在所有惯性系中形式不变，这为狭义相对论的诞生提供了重要线索。