欧拉角

Euler Angles
欧拉角是一种用于描述刚体在三维欧氏空间中姿态（orientation）的参数化方法。它通过三个依次施加的旋转角度，将物体从参考姿态（通常称为初始姿态或零姿态）变换到目标姿态。
这些旋转通常围绕三条两两正交的坐标轴进行，常见为 X、Y、Z 轴。

在相对于物体初始状态的约定下，常用定义如下：

• 滚转角 Roll
  表示绕 X 轴的旋转角度，描述物体沿前后轴线的翻滚运动。

• 俯仰角 Pitch
  表示绕 Y 轴的旋转角度，描述物体抬头或低头的运动。

• 偏航角 Yaw
  表示绕 Z 轴的旋转角度，描述物体在水平面内的转向运动。

这三个角度的组合可以唯一地（在局部范围内）描述刚体在三维空间中的姿态，因此欧拉角被广泛应用于航空航天、机器人、计算机图形学以及惯性导航系统中。

需要注意的是，欧拉角不仅由三个角度组成，还依赖于旋转顺序和旋转轴的选取方式。例如，常见的旋转顺序包括 Z–Y–X（Yaw–Pitch–Roll）或 X–Y–Z 等，不同顺序对应不同的数学含义和物理解释。在工程中，若未明确约定旋转顺序，欧拉角的定义往往是歧义的。

尽管欧拉角直观、易于理解，但它在表示三维旋转时存在内在缺陷，其中最典型的问题是万向节锁。万向节锁是指在某些特殊姿态下（例如 Pitch 接近 ±90°），两个旋转轴发生重合，从而导致系统自由度从 3 降为 2，使得某一方向的旋转能力丧失。这一现象会引起数值不稳定、控制失效以及姿态插值异常等问题。

正因如此，在对连续旋转、姿态插值或高机动运动进行建模时，欧拉角往往不是最优选择。为克服这些问题，工程与数学领域引入了其他旋转表示方法，例如：

• 四元数：通过四维单位向量表示旋转，避免万向节锁，数值稳定，适合插值与实时计算

• 旋转矩阵：通过 $3\times 3$ 正交矩阵表示旋转，表达完整但参数冗余

• 轴–角表示：通过旋转轴与旋转角度直接描述刚体旋转

在实际系统中，欧拉角常用于人机交互、参数配置和结果展示，而在底层计算与控制算法中，则更倾向于使用四元数或旋转矩阵作为姿态的内部表示。

Manim-欧拉角旋转