四元数

Quaternion
复数的四维延伸, 一种数学上的代数结构，用于在三维空间中表示旋转和方向。
四元数在计算机图形学、机器人学、航天器姿态控制等领域有广泛应用，因为它们可以方便地进行旋转的插值（Slerp）和避免万向节锁（Gimbal Lock）问题。

欧拉角描述旋转的结果，四元数描述旋转的过程。

\begin{array}{r} q = w + x i + y j + z k \end{array}

$w$ 为实部，标量部分
$x i + y j + z k$ 为虚部，矢量部分。(Vector 的名词在此首次提出，不过现代意义主要指向量)

实数轴和三个虚轴都相互垂直，符合右手定则

\begin{array}{r} i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1 \end{array}

单位四元数的乘法表示四维空间的双旋转

\begin{matrix} i j = k, j k = i, k i = j \\ j i = - k, k j = - i, i k = - j \end{matrix}

以虚数 i 为例，i 的作用相当于将 jk 平面上的向量逆时针旋转 $90^{\circ}$

i j = k, i k = - j, i (- j) = - k, i (- k) = j

而 i 如果作用于 i 本身，则进入实数范围， $i^{2} = - 1$

对于四元数中一般的单位向量 $v$ ， $v$ 左乘，相当于将与 $v$ 垂直的平面逆时针旋转 $90^{\circ}$
而将沿着 $v$ 的分量将进入实数范围，跑出三维虚空间

$q = \cos θ + v \sin θ$
$q^{- 1} = \cos θ - v \sin θ$
任意一个向量在三维空间中绕向量 $v$ 旋转 $2 θ$ 角： $x^{'} = q x q^{- 1}$

描述三维的旋转

复数乘除法的几何意义是来描述二维的旋转，乘以一个复数，复数的模表示伸缩，复数的角度表示顺时针的旋转角度：如果想要将一个向量 $x + i y$ 顺时针旋转 $θ$ 角，只需要乘以模为 1 的向量 $\cos θ + i \sin θ$ ，得到旋转后的向量 $(\cos θ + i \sin θ) (x + i y)$

四元数描述三维的旋转类似
向量 $p = (x_{1} i, y_{1} j, z_{1} k)$
$q = w_{0} + x_{0} i + y_{0} j + z_{0} k$

\begin{array}{r} q p q^{- 1} = (w_{0} + x_{0} i + y_{0} j + z_{0} k) (x_{1} i, y_{1} j, z_{1} k) (w_{0} - x_{0} i - y_{0} j - z_{0} k) \end{array}

直观化展示：https://eater.net/quaternions