边缘检测

Edge Detection

边缘检测是计算机视觉和图像处理中一项基础且关键的任务。它旨在识别图像中像素强度发生显著变化的区域，这些区域通常对应着物体的轮廓、纹理、颜色或亮度边界。边缘是图像中重要的结构信息，对于图像理解、特征提取和物体识别至关重要。

边缘本质上是图像局部区域像素值不连续的体现。边缘检测算法通过计算图像的梯度 (Gradient) 来寻找这些不连续点。梯度表示像素强度变化的速度和方向，梯度幅值越大，表示该点越可能是边缘。

原理: Sobel算子是一种基于一阶导数的边缘检测算子。它通过两个 $3 \times 3$ 的卷积核分别计算图像在水平方向 ( $G_{x}$ ) 和垂直方向 ( $G_{y}$ ) 的近似梯度。
卷积核: $G_{x} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ - 2 & 0 & 2 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) G_{y} = (\begin{matrix} - 1 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})$
梯度幅值: $M = \sqrt{G_{x}^{2} + G_{y}^{2}}$
梯度方向: $θ = \arctan (G_{y} / G_{x})$
特点: 简单高效，对噪声有一定的平滑作用。

原理: 与Sobel算子类似，也是基于一阶导数，但其卷积核的权重分布略有不同。
卷积核: $G_{x} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) G_{y} = (\begin{matrix} - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$

原理: 最简单的一阶导数算子，使用 $2 \times 2$ 的卷积核，计算对角线方向的梯度。
卷积核: $G_{x} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) G_{y} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$
特点: 对噪声敏感，边缘定位精度不高。

原理: 基于二阶导数的边缘检测算子。它通过检测图像的二阶导数过零点来寻找边缘。二阶导数在边缘处会发生符号变化。
卷积核: $(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) 或 (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 8 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$
特点: 对噪声非常敏感，容易产生双边缘。

Canny边缘检测是目前最常用、效果最好的边缘检测算法之一，它是一个多阶段的优化过程，旨在实现低错误率、高定位精度和单边缘响应。

1. 高斯滤波: 使用高斯滤波器平滑图像，去除噪声，防止噪声被误识别为边缘。
2. 计算梯度幅值和方向: 使用Sobel或Prewitt算子计算图像每个像素点的梯度幅值和方向。
3. 非极大值抑制 (Non-Maximum Suppression): 沿着梯度方向，抑制非最大值的像素点。这有助于将模糊的边缘细化为单像素宽的边缘。
4. 双阈值检测 (Double Thresholding):
- 设置两个阈值：高阈值 $T_{H}$ 和低阈值 $T_{L}$ 。
- 如果像素点的梯度幅值大于 $T_{H}$ ，则被认为是强边缘点。
- 如果像素点的梯度幅值介于 $T_{L}$ 和 $T_{H}$ 之间，则被认为是弱边缘点。
- 如果像素点的梯度幅值小于 $T_{L}$ ，则被抑制。
5. 边缘连接 (Edge Tracking by Hysteresis): 通过分析强边缘点和弱边缘点之间的连接性来确定最终的边缘。只有与强边缘点相连的弱边缘点才会被保留，从而避免将噪声点误识别为边缘。