线性系统的结构分解

将状态空间按照能控性和能观性进行结构分解，在理论上揭示了状态空间的本质特征，也为最小实现问题提供了理论依据。

对于线性定常系统：

{\begin{cases} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x \end{cases}

一、按能控性分解

能控性判别矩阵：

\begin{array}{r} r a n k M = r a n k (\begin{array}{c} B & A B & \dots & A^{n - 1} B \end{array}) = n_{1} < n \end{array}

则存在非奇异变换 $R_{c}$ ：前 $n_{1}$ 个列向量取能控性判别矩阵的 $n_{1}$ 个线性无关的列，另外 $n - n_{1}$ 个列可以任意选取（只要保证 $R_{c}$ 线性无关即可，可以尽量选取的简单）

得到变换后的状态空间表达式：

x = R_{c} \hat{x} \Rightarrow {\begin{cases} \dot{\hat{x}} = \hat{A} \hat{x} + \hat{B} u \\ y = \hat{C} \hat{x} \end{cases}

\begin{aligned} \hat{A} & = R_{c}^{- 1} A R_{c} = (\begin{array}{c} {\hat{A}}_{11} & {\hat{A}}_{12} \\ 0 & {\hat{A}}_{22} \end{array}) \\ \hat{B} & = R_{c}^{- 1} B = (\begin{array}{c} {\hat{B}}_{1} \\ 0 \end{array}) \\ \hat{C} & = C R_{c} = (\begin{array}{c} {\hat{C}}_{1} & {\hat{C}}_{2} \end{array}) \\ \hat{x} & = (\begin{array}{c} {\hat{x}}_{1} \\ - - \\ x_{2} \end{array}) u = (\begin{array}{c} u_{1} \\ - - \\ u_{2} \end{array}) \end{aligned}

能控子空间： ${\dot{\hat{x}}}_{1} = {\hat{A}}_{11} {\hat{x}}_{1} + {\hat{B}}_{1} u_{1}$

二、按能观性分解

能观性判别矩阵：

\begin{array}{r} r a n k N = r a n k (\begin{array}{c} C \\ C A \\ ⋮ \\ C A^{n - 1} \end{array}) = n_{1} < n \end{array}

则存在非奇异变换 $R_{o}$ ：其逆矩阵 $R_{o}^{- 1}$ 的前 $n_{1}$ 个行向量取能控性判别矩阵的 $n_{1}$ 个线性无关的行，另外 $n - n_{1}$ 个行可以任意选取（只要保证 $R_{o}^{- 1}$ 线性无关即可，可以尽量选取的简单）

注意

能观性分解时，首先得到的是非奇异变换的逆矩阵！而不是非奇异变换本身！！！

得到变换后的状态空间表达式：

x = R_{o} \tilde{x} \Rightarrow {\begin{cases} \dot{\tilde{x}} = \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{B} u \\ y = \tilde{C} \tilde{x} \end{cases}

\begin{aligned} \tilde{A} & = R_{o}^{- 1} A R_{o} = (\begin{array}{c} {\tilde{A}}_{11} & 0 \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{array}) \\ \tilde{B} & = R_{o}^{- 1} B = (\begin{array}{c} {\tilde{B}}_{1} \\ {\tilde{B}}_{2} \end{array}) \\ \tilde{C} & = C R_{o} = (\begin{array}{c} {\tilde{C}}_{1} & 0 \end{array}) \\ \tilde{x} & = (\begin{array}{c} {\tilde{x}}_{1} \\ - - \\ {\tilde{x}}_{2} \end{array}) \end{aligned}

能观子空间：

\begin{aligned} {\tilde{\hat{x}}}_{1} & = {\tilde{A}}_{11} {\tilde{x}}_{1} + {\tilde{B}}_{1} u_{1} \\ y & = {\tilde{C}}_{1} {\tilde{x}}_{1} \end{aligned}

三、按能控能观性分解

如果系统不完全能观，不完全能控，则可以分解为四个子空间（实际上是先进行能控性分解，再进行能观性分解）

\begin{aligned} A & = R^{- 1} A R = (\begin{array}{c} A_{11} & 0 & A_{13} & 0 \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} \\ 0 & 0 & A_{33} & 0 \\ 0 & 0 & A_{34} & A_{44} \end{array}) \\ B & = R^{- 1} B = (\begin{array}{c} B_{1} \\ B_{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}) \\ C & = C R = (\begin{array}{c} C_{1} & 0 & C_{3} & 0 \end{array}) \\ x & = (\begin{array}{c} x_{c o} \\ x_{c \bar{o}} \\ x_{\bar{c} o} \\ x_{\bar{c} \bar{o}} \end{array}) \end{aligned}