状态空间表达式的建立

State Space Representation

得到状态空间表达式

Description

前置知识：系统状态空间表达式传递函数
本节从系统的两个层次来建立状态空间表达式

\begin{array}{r} {\begin{cases} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{cases} \end{array}

和经典控制理论的系统结构框图一致，使用框图表示信号传递关系。
积分器的个数和状态变量数一致，积分器的输出就为状态变量。输入 $\dot{x}$ , 输出 $x$

\begin{array}{r} C \frac{d u_{C}}{d t} = i L \frac{d i}{d t} = u_{L} \end{array}

实现问题：由描述系统输入-输出动态关系的微分方程/差分方程或传递函数建立系统的状态空间表达式。（保持了原有的输入-输出关系，又将系统的内部关系揭示出来；注意系统的实现是不唯一的）

高阶微分方程：

\begin{array}{r} y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = b_{0} u (t) \end{array}

对应传递函数：

\begin{array}{r} W (s) = \frac{b_{0}}{s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0}} \end{array}

取系统状态空间表达式为：

\begin{array}{r} {\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} = x_{3} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n - 1} = x_{n} \\ {\dot{x}}_{n} = - a_{0} x_{1} - a_{1} x_{2} - \dots - a_{n - 1} x_{n} + u \end{cases} y = b_{0} x_{1} \end{array}

对应状态空间表达式：

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{array}) B = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{array}) C = (\begin{array}{c} b_{0} 0 \dots 0 \end{array}) \end{array}

系统矩阵为特征多项式对应的友矩阵！

高阶微分方程：

\begin{array}{r} y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = b_{m} u^{(m)} + b_{m - 1} u^{(m - 1)} + \dots + b_{1} u^{'} + b_{0} u \end{array}

对应传递函数：

\begin{array}{r} W (s) = \frac{b_{m} s^{m} + b_{m - 1} s^{m - 1} + \dots + b_{1} s + b_{0}}{s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0}} m \leq n \end{array}

对应状态空间表达式：(以下是当 $m = n$ 时情况，如果 $m < n$ ，注意 $b_{m + 1}, \dots, b_{n} = 0$ 即可)

形式一：

\begin{matrix} A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{matrix}) B = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ C = (\begin{matrix} b_{0} - a_{0} b_{n} b_{1} - a_{1} b_{n} \dots b_{n - 1} - a_{n - 1} b_{n} \end{matrix}) D = b_{n} \end{matrix}

~~形式二：~~

\begin{matrix} A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{matrix}) B = (\begin{matrix} β_{n - 1} \\ β_{n - 2} \\ ⋮ \\ β_{1} \\ β_{0} \end{matrix}) \\ C = (\begin{matrix} 1 0 \dots 0 0 \end{matrix}) D = β_{n} \\ (\begin{matrix} 1 \\ a_{n - 1} & 1 \\ a_{n - 2} & a_{n - 1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ \\ a_{0} & a_{1} & \dots & a_{n - 1} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} β_{n} \\ β_{n - 1} \\ β_{n - 2} \\ ⋮ \\ β_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{n} \\ b_{n - 1} \\ b_{n - 2} \\ ⋮ \\ b_{0} \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{aligned} β_{n} & = b_{n} \\ β_{n - 1} & = b_{n - 1} - a_{n - 1} β_{n} \\ β_{n - 2} & = b_{n - 2} - a_{n - 2} β_{n} - a_{n - 1} β_{n - 1} \\ ⋮ \\ β_{0} & = b_{0} - a_{0} β_{n} - a_{1} β_{n - 1} - \dots - a_{n - 1} β_{1} \end{aligned}