传递函数

Transform Fuction

复变量的有理分式函数

线性时不变系统中，定义为：零初始条件下，系统输出量与输入量的拉普拉斯变换之比

零极点形式，常见于根轨迹法：

\begin{aligned} G (s) & = \frac{b_{0} (s - z_{1}) (s - z_{2}) \dots (s - z_{m})}{a_{0} (s - p_{1}) (s - p_{2}) \dots (s - p_{n})} = K^{*} \frac{\prod_{i = 1}^{m} (s - z_{i})}{\prod_{j = 1}^{n} (s - p_{j})} \end{aligned}

\begin{array}{r} G (s) = \frac{K \prod_{i = 1}^{m_{1}} (τ_{i} s + 1) \prod_{k = 1}^{m_{2}} (τ_{k}^{2} s^{2} + 2 ζ_{k} τ_{k} s + 1)}{s^{v} \prod_{j = 1}^{n_{1}} (T_{j} s + 1) \prod_{l = 1}^{n_{2}} (T_{l}^{2} s^{2} + 2 ζ_{l} T_{l} s + 1)} \end{array}

极点：分母多项式的解 ×，特征方程的根（特征根），可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态，如果有极点 $p_{1}, p_{2}$ ，则有模态： $e^{p_{1} t}$ $e^{p_{2} t}$

零点：分子多项式的解 O，不形成自由运动的模态，但是影响各模态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状

注意

\begin{array}{r} G_{o} (S) = \frac{B (s)}{E (s)} = G_{c} (s) G_{p} (s) H (s) \end{array}

闭 环 传 递 函 数 = \frac{前 向 通 路 传 递 函 数}{1 + 开 环 传 递 函 数}

\begin{array}{r} \frac{C (s)}{R (s)} = \frac{G_{c} (s) G_{p} (s)}{1 + G_{o} (s)} \end{array}

\begin{array}{r} \frac{C (s)}{N (s)} = \frac{G_{p} (s)}{1 + G_{o} (s)} \end{array}

\begin{array}{r} \frac{E (s)}{N (s)} = \frac{- G_{p} (s) H (s)}{1 + G_{o} (s)} \end{array}

已知传递函数 $G (s)$ ，求给定输入 $I (s)$ 下系统的输出 $O (s)$ 最终输出 $o (+ \infty)$

一般给定输入为经典输入信号，求时间响应：主要使用拉普拉斯变换#6.极限性质

\begin{array}{r} O (s) = G (s) I (s) o (+ \infty) = lim_{s \to 0} s G (s) I (s) \end{array}

电路元件的传递函数

复数阻抗法：列写网络的微分方程时，由于流过电流相同。可以直接将输出电压和输入电压的比值，直接列写出传函，再拉普拉斯逆变换，求时域的微分关系

\begin{aligned} \frac{U_{o} (s)}{U_{i} (s)} & = \frac{R_{2} + \frac{1}{C_{2} s}}{\frac{R_{1} \frac{1}{C_{1} s}}{R_{1} + \frac{1}{C_{1} s}} + R_{2} + \frac{1}{C_{2} s}} \end{aligned}

\begin{aligned} L [f^{'} (t)] & = s F (s) - f (0) \\ L [f^{″} (t)] & = s^{2} F (s) - [s f (0) + f^{'} (0)] \\ L [f^{‴} (t)] & = s^{3} F (s) - [s^{2} f (0) + s f^{'} (0) + f^{″} (0)] \end{aligned}

控制系统传递函数为： $G (s) = \frac{C (s)}{R (s)} = \frac{1}{s + 2}$ ，当初始条件 $c (0) = 1$ 时，求系统的单位阶跃响应

$C (s) = \frac{s + 1}{s (s + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{s} + \frac{1}{s + 2})$

求时间响应 $y (t)$ ：

\begin{array}{r} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 5 \frac{d y}{d t} + 6 y (t) = 6 x (t) \end{array}

\begin{aligned} s^{2} Y (s) - s f (0) - f^{'} (0) + 5 [s Y (s) - f (0)] + 6 Y (s) = \frac{6}{s} \\ Y (s) = \frac{6}{(s^{2} + 5 s + 6) s} + \frac{2 s + 12}{s^{2} + 5 s + 6} \\ = \frac{1}{s} + - \frac{3}{s + 2} + \frac{2}{s + 3} + \frac{8}{s + 2} + - \frac{6}{s + 3} \\ y (t) = 1 (t) + 5 e^{- 2 t} - 4 e^{- 3 t} \end{aligned}