变换

Transform
将实际工程问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析的手段：使问题的性质更清楚、问题的求解更方便。

变换不等同于化简，必须可逆，也即必须存在相对应的逆变换

三大变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换、z 变换

\begin{array}{r} F \Leftrightarrow L \Leftrightarrow Z \end{array}

LaTeX

\mathscr{}  \mathscr{F}  \mathscr{L}  \mathscr{Z}

\begin{aligned} F (ω) & = F [f (t)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- j ω t} d t \end{aligned}

“在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和”
—— 傅里叶 Fourier 1804

傅里叶级数：周期函数的离散频谱展开
傅里叶积分：非周期函数的连续频谱展开
傅里叶变换：由傅里叶积分定义，并利用冲激函数进一步扩展，统一周期函数和非周期函数的展开
傅里叶变换的扩展：小波变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换

\begin{array}{r} F (s) = L {f (t)} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

扩大傅里叶变换的使用范围，既具有类似傅里叶变换的性质，又能处理指数级增长的函数。求解常微分方程的工具

\begin{array}{r} E (z) = Z [e^{*} (t)] = \sum_{k = 0}^{\infty} e (n T) z^{- k} \end{array}

拉普拉斯变换向离散时间函数的扩展，处理离散的数字信号。求解差分方程的工具。