冲激函数

Dirac Delta Function
狄拉克函数，单位冲激函数 $δ (t)$ ，属于广义函数（一般通过积分定义）

统一周期函数和非周期函数的傅里叶变换，将离散的频谱以连续的频谱表现出来

单位脉冲函数 $δ_{ε} (t)$ 的弱极限为单位冲激函数： $δ (t)$

δ_{ε} (t) = {\begin{cases} \frac{1}{ε}, 0 < t < ε \\ 0, 其他 \end{cases}

\begin{matrix} δ (t) = lim_{ε \to 0} δ_{ε} (t) = {\begin{cases} \infty & t = 0 \\ 0 & t \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t) d t = 1 \end{matrix}

$f (t)$ 为无穷次可微的函数

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t) f (t) d t & = lim_{ε \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{ε} (t) f (t) d t \\ = lim_{ε \to 0} \int_{0}^{ε} \frac{1}{ε} f (t) d t \\ = f (0) \end{aligned}

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t - t_{0}) f (t) d t = f (t_{0}) \end{array}

$f (t)$ 为无穷次可微的函数

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ^{'} (t) f (t) d t = - f^{'} (0) \end{array}

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t)^{(n)} f (t) d t = (- 1)^{n} f^{(n)} (0) \end{array}

δ (t) = δ (- t)

\begin{array}{r} δ (b t - a) = \frac{1}{| b |} δ (t - \frac{a}{b}) \end{array}

\begin{aligned} f (t) * δ (t) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) δ (t - τ) d τ = f (t) \end{aligned}

\begin{array}{r} \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ (t - b - τ) δ (τ - a) d τ = δ (t - b - a) \end{array}

\begin{array}{r} φ (t) δ (t - a) = φ (a) δ (t - a) \end{array}

根据筛选性质有：

\begin{matrix} F [δ (t)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t) e^{- i ω t} d t = e^{- i ω t} |_{t = 0} = 1 \\ F^{- 1} [1] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i ω t} d ω = δ (t) \end{matrix}

单位冲激函数包含各种频率分量，并且有相等的幅度，称为白色频谱/均匀频谱

\begin{array}{r} F [1] = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- j ω t} d t = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{j ω τ} d τ = 2 π δ (ω) \end{array}

\begin{matrix} F [δ (t - t_{0})] = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t - t_{0}) e^{- i ω t} d t = e^{- i ω t_{0}} \\ F^{- 1} [e^{- i ω t_{0}}] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- i ω t_{0}} e^{i ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- i (t + t_{0}) ω} d ω = δ (t - t_{0}) \end{matrix}

注意，形式上的变量可以替换：

\begin{aligned} δ (ω - ω_{0}) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- i t ω_{0}} e^{i t ω} d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- i (ω + ω_{0}) t} d t \end{aligned}

冲激函数是一个理想化的数学工具，用于在积分中描述瞬时能量或质量的集中。
它在除了零点以外的所有点都为零，而在零点处其“强度”是无穷大。
冲激函数的积分在整个定义域上等于 1，即 $\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1$
冲激函数没有实际的物理意义，因为现实中没有任何信号能真正达到无穷大的幅度和无穷窄的宽度。
但在某些情况下，冲激函数可以被用来近似脉冲函数的效应，特别是在分析线性时不变系统的响应时。在信号处理的离散时间域中，冲激函数可以用来近似一个采样脉冲，这个采样脉冲在时间轴上具有非常窄的宽度，但仍然具有有限的幅度和持续时间。