孤立奇点

Isolated Singularity

函数 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处不解析，而在 $z_{0}$ 的某一去心邻域 $0 < | z - z_{0} | < δ$ 内处处解析，则 $z_{0}$ 为 $f (z)$ 的孤立奇点

注意

孤立奇点一定为奇点，而奇点不一定为孤立奇点，比如：
$f (z) = \frac{z^{2}}{\sin \frac{1}{z}}$ 的奇点 0不是孤立奇点，函数奇点为 $\sin \frac{1}{z} = 0$ , 也即： $z = 0 z = \frac{1}{k π}$
而 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{k π} = 0$ , 在 $z = 0$ 的去心邻域内，总有其他不解析的奇点存在，所以 0 不是孤立奇点

一、孤立奇点的分类

根据孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类：

graph LR
孤立奇点-->分类 & 判定
分类--> 可去奇点 & 极点 & 本性奇点
判定 --> 1["根据定义：\n 洛朗级数展开"] & 2["极限判定：\n 求函数趋于孤立奇点的极限值"]

1. 可去奇点

定义判定：如果洛朗级数中不含 $z - z_{0}$ 的负幂项，则孤立奇点为可去奇点
极限判定： $lim_{z \to z_{0}} f (z)$ 如果极限存在且为有限值，则为可去奇点（通过补充定义可以使得函数处处解析）

2. 极点

定义判定：如果洛朗级数中只有有限多个 $z - z_{0}$ 的负幂项，且洛朗级数的负幂项的最高次幂为 $m$ ， $(z - z_{0})^{- m}$
或者写成： $f (z) = \frac{1}{(z - z_{0})^{m}} g (z)$ ， $g (z)$ 在 $z_{0}$ 处解析，且 $g (z_{0}) \neq 0$

则孤立奇点为 $m$ 级极点

极限判定： $lim_{z \to z_{0}} f (z) = \infty$ ，则为极点

注意

极点阶数的判断不能 “流于表面”，要同时考虑分子和分母，更要尤其注意形式不为 $(z - z_{0})$ 的幂次。要实际地讨论，或者转为零点的判断

3. 本性奇点

定义判定：含有无穷多个负幂项，则孤立奇点为本性奇点

极限判定： $lim_{z \to z_{0}} f (z)$ 极限不存在，也不为 $\infty$ ，则为本性奇点 (例如： $e^{1 / z}$ )

二、零点

零点定义

不恒等于 0 的解析函数 $f (z)$ 如果能表示成： $f (z) = (z - z_{0})^{m} φ (z)$
$φ (z)$ 在 $z_{0}$ 解析且 $φ (z_{0}) \neq 0$ ， $m$ 为正整数，则称 $z_{0}$ 为 $f (z)$ 的 $m$ 级零点

零点的判定

$f (z)$ 在 $z_{0}$ 解析， $m$ 级零点的充要条件：

\begin{aligned} f^{(n)} (z_{0}) = 0 (n = 1, 2, \dots, m - 1) \\ f^{(m)} (z_{0}) \neq 0 \end{aligned}

由高阶导数的求导易知：幂级数展开的最低幂次的次数即为零点的级数

$z = 0$ 是 $\frac{e^{z}}{z (1 - \cos z)}$ 的？
注意到 $z = 0$ 使得分母的 $z (1 - \cos z)$ 都为 0，
但是只能初步判断极点的级数大于等于 2，而不一定就为 2
转为零点阶数判断
$(z (1 - \cos z))^{'} = 1 - \cos z + z \sin z$ $z = 0$ 时，一阶导数为 0
$(z (1 - \cos z))^{″} = \sin z + \sin z + z \cos z$ $z = 0$ 时，二阶导数为 0
$(z (1 - \cos z))^{‴} = 2 \cos z + \cos z - z \sin z$ $z = 0$ 时，三阶导数不为 0
所以综上， $z = 0$ 是原函数的三级极点

零点与极点的关系

如果 $z_{0}$ 是 $f (z)$ 的 $m$ 级极点/零点，则 $z_{0}$ 就是的 $m$ 级零点/极点
可以将讨论极点转化为讨论零点

\begin{array}{r} \frac{g (z)}{f (z)} = \frac{(z - z_{0})^{n} ψ (z)}{(z - z_{0})^{m} φ (z)} = {\begin{cases} n - m 级 零 点 n > m \\ 可 去 奇 点 n = m \\ m - n 级 极 点 n < m \end{cases} \end{array}

为什么有“零点的判定”

因为有些函数形式上不为 $(z - z_{0})^{n}$ 的展开形式，可以直接洛朗级数展开，也可以使用充要条件，求导数判定

有些函数极点阶数的判断也可借助零点判断的方法

三、无穷远点

$f (z)$ 在无穷远点 $z = \infty$ 的去心邻域 $R < | z | < + \infty$ 内解析，则称 $\infty$ 为 $f (z)$ 的孤立奇点

变换： $t = \frac{1}{z} \to f (z) = φ (t)$ $R < | z | < + \infty \to 0 < | t | < \frac{1}{R}$
$t = 0$ 对应 $φ (t)$ 的极点类型等价于 $z = \infty$ 对应 $f (z)$ 的极点类型

对于洛朗级数展开的幂项
极限 $lim_{n \to \infty} f (z)$

可去奇点
- 不含正幂项
- 极限存在且为有限值
m 级极点
- 含有有限多个正幂项， $z^{m}$ 为最高次幂
- 无穷大
本性奇点
- 无穷多的正幂项
- 极限不存在且不为无穷大

例题

1.函数在扩充复平面内有哪些类型奇点？

\begin{array}{r} f (z) = \frac{(z^{2} - 1) (z - 2)^{3}}{(\sin π z)^{3}} \end{array}

函数有奇点： $z = k k \in Z$
对分母而言： $(\sin π z)^{'} \neq 0, z = k$ $z = k$ 为三级极点
对分子而言： $z = \pm 1$ 为一级零点， $z = 2$ 为三级零点

所以对函数而言：
$z = k, k \in Z \cap k \neq \pm 1, 2$ 为三级极点
$z = \pm 1$ 为二级极点
$z = 2$ 为可去奇点

扩充复平面：
$z = \infty$ 时， $z = \infty$ 的去心邻域内包含不解析的奇点
所以 $z = \infty$ 不是孤立奇点

基本解法

首先判断函数分母的奇点，再看分子的零点
根据零极点关系，判定孤立奇点的类型
注意孤立奇点的定义