调和函数

Harmonic Function

拉普拉斯方程的解

一、基本定义

如果二元实变函数 $φ (x, y)$ 在区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程，则 $φ (x, y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数：

\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} φ}{\partial y^{2}} = 0 \end{array}

解析函数与调和函数的关系：任何在区域 $D$ 内解析的函数，它的实部和虚部都是 $D$ 内的调和函数

由 C-R方程知:

\begin{array}{r} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \end{array}

对上两式分别对 $x, y$ 求偏导数：

\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = - \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y} \end{array}

所以:

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0

同理:

\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} = 0 \end{array}

二、共轭调和函数

共轭调和函数：已知调和函数 $u (x, y)$ ，如果存在调和函数 $v (x, y)$ 使得 $u + i v$ 在 $D$ 内构成解析函数，则 $v (x, y)$ 为 $u (x, y)$ 的共轭调和函数。（虚部为实部的共轭调和函数，注意顺序不能颠倒）

1. 偏积分法

已知一个调和函数 $u$ , 利用C-R方程求得共轭调和函数 $v$ ，构成解析函数 $u + v i$

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 \to u为调和函数 \\ 使用C-R方程: \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \\ v = \int \frac{\partial u}{\partial x} d y + g (x) \\ \frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\partial u}{\partial y} \to g (x)^{'} \to g (x) = \int g (x)^{'} d x \to v (x, y) \end{aligned}

2. 不定积分法

已知调和函数 $u (x, y)$ 或 $v (x, y)$ ，用不定积分求解析函数的方法

由解析函数的高阶导数知：解析函数的导数仍为解析函数

解析函数的导数可以通过实部或虚部的导数来表示
当 $Δ y = 0$ 或 $Δ x = 0$ 时
导数的极限形式退化为实数域上的导数定义，也即有 $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x} = u_{y} - i u_{y}$
再结合 C-R方程, 即可推导出导数分别与实部和虚部的关系

\begin{aligned} f^{'} (z) & = u_{x} + i v_{x} \\ = u_{x} - i u_{y} = U (z) \\ = v_{y} + i v_{x} = V (z) \\ = v_{y} - i u_{y} \end{aligned}

已知实部 $u_{x}$ 求 $f (z)$ :

\begin{aligned} f (z) & = \int U (z) d z + i c = \int u_{x} - i u_{y} d z + i c \end{aligned}

注意

注意是已知实部, 所以不可能实部还会有任意常数, 所以常数为纯虚数 $i c$
还有要注意是对 $z$ 积分, 所以要将包含 $x, y$ 的函数写成 $x + i y = z$ ,用 $z$ 表示函数
还是要计算 $\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}$

已知虚部 $v_{x}$ 求 $f (z) :$

\begin{aligned} f (z) & = \int V (z) d z + c = \int v_{y} + i v_{x} d z + c \end{aligned}

重要:

一个解析函数, 形式为 $u (x, y) + i v (x, y)$
$u (x, y), v (x, y)$ 都为 $x, y$ 的函数
则该解析函数一定可以写为以 $z = x + i y$ 为自变量的函数 $f (z)$

本质是: $x = \frac{z + \bar{z}}{2} y = \frac{z - \bar{z}}{2 i}$ 的代换
任何一个关于 $x, y$ 的复变函数都能写成以 $z \overset{―}{z}$ 为自变量的函数, 但是一般 $\overset{―}{z}$ 不解析, 所以只有解析函数才能表示为仅由 $z$ 表示的函数

一定要注意函数解析的充分必要条件: C-R方程
也要注意: 当已知调和函数求另一个调和函数, 使之构造成解析函数时, 最终要写为关于 $z$ 的函数 $f (z)$
当使用不定积分法求解析函数时, 要注意到 $f^{'} (z)$ 也为解析函数, 也为 $z$ 的函数, 然后再对 $z$ 求积分, 得到最终结果

$(x + i y)^{3} = x^{3} - i y^{3} - 3 x y^{2} + 3 i x^{2} y$

\begin{aligned} u (x, y) & = x^{3} - 6 x^{2} y - 3 x y^{2} + 2 y^{3} \\ v (x, y) & = 3 x^{2} y - 6 x y^{2} - y^{3} + 2 x^{3} + c \\ f (z) & = u + i v = z^{3} + 2 i z^{3} + c \end{aligned}