多维随机变量函数的分布

Distribution of Functions of Multivariate Random Variables
随机变量函数的分布多维随机变量

f (x, y)

求随机变量

Z = g (X, Y)

的分布函数

F_{Z} (z)

分布函数法：

\begin{aligned} F_{Z} (z) & = P {Z \leq z} \\ = P {g (X, Y) \leq z} \\ = \iint_{g (x, y) \leq z} f (x, y) d x d y \\ f_{Z} (z) & = F_{Z}^{'} (z) \end{aligned}

本质上就是求二重积分，关键是找好积分区域 $g (x, y) \leq z$
因为积分区域是关于 $z$ 的函数（积分限也可能为 $z$ 的函数，可以将 $z$ 暂时看为常数，只考虑 $x, y$ ）

所以对 $x, y$ 进行二重积分时，会将 $x, y$ 变量消去，最终得到 $z$ 的函数，也即 $z$ 的分布函数，再进行求导，得到 $z$ 的概率密度函数

二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数 $f (x, y)$
$Z = X + Y$ ，求 $f_{Z} (z)$

\begin{aligned} F_{Z} (z) & = P {Z \leq z} \\ = P {X + Y \leq z} \\ = \iint_{x + y \leq z} f (x, y) d x d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x \int_{- \infty}^{z - x} f (x, y) d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x \int_{- \infty}^{z} f (x, u - x) d u (y = u - x) \\ = \int_{- \infty}^{z} d u \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, u - x) d x \end{aligned}

所以 $Z = X + Y$ 为连续型随机变量，且密度函数为：

\begin{array}{r} f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x \end{array}

同理：

\begin{array}{r} f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (z - y, y) d y \end{array}

确定实际的积分区域！

要充分结合题目给定的变量的范围
将 $y = z - x$ 代换，进一步确定积分范围

当 $0 \leq x \leq y \leq 1$ 时， $f (x, y) = 2 (x + y)$
求 $Z = X + Y$ 的密度函数
根据题意有： $0 \leq x \leq z - x \leq 1 \to 2 x \leq z \leq 1 + x$
积分区域：

特别地：如果随机变量 $X, Y$ 相互独立，则有 $f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - y) d x \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (z - y) f_{Y} (y) d y \\ = f_{X} (x) * f_{Y} (y) \end{aligned}

两个随机变量相互独立，则它们和的密度函数等于 X 与 Y密度函数的卷积

正态分布 $X \sim N (a, b^{2})$ $Y \sim N (c, d^{2})$

二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数 $f (x, y)$

\begin{array}{r} Z = \frac{Y}{X} \Rightarrow f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} | x | f (x, x z) d x \end{array}

\begin{array}{r} Z = X Y \Rightarrow f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{| x |} f (x, \frac{z}{x}) d x \end{array}

注意

实际计算时，注意 $x$ 的积分上下限！！！
利用题目信息，明确积分范围
常常因为变量 $z$ 取值的不同，积分的表达式有所区别
当进行变量代换时，要找好 $z$ 与 $x$ 的关系

$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是相互独立的随机变量
$X_{i}$ 的分布函数为 $F_{i} (x)$

\begin{array}{r} X_{(1)} = m i n {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}} 最 小 顺 序 统 计 量 \\ X_{(n)} = m a x {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}} 最 大 顺 序 统 计 量 \end{array}

\begin{aligned} F_{(n)} (x) & = P {X_{(n)} \leq x} \\ = P {m a x {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}} \leq x} \\ = P {X_{1} \leq x} P {X_{2} \leq x} \dots P {X_{n} \leq x} \\ = \prod_{i = 1}^{n} F_{i} (x) \\ F_{(1)} (x) & = P {X_{(1)} \leq x} \\ = P {m i n {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}} \leq x} \\ = 1 - P {m i n {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}} > x} \\ = 1 - P {X_{1} > x} P {X_{2} > x} \dots P {X_{n} > x} \\ = 1 - (1 - P {X_{1} \leq x}) \dots (1 - P {X_{n} \leq x}) \\ = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i} (x)) \end{aligned}

最小值的分布,转为对立事件讨论

\begin{array}{r} f_{(1)} (x) = \frac{d}{d x} [F_{(1)} (x)] = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (x) \prod_{j = 1, j \neq i}^{n} [1 - F_{j} (x)] \end{array}

\begin{array}{r} f_{n} (x) = \frac{d}{d x} [F_{n} (x)] = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (x) \prod_{j = 1, j \neq i}^{n} F_{j} (x) \end{array}

如果随机变量服从相同的分布，独立同分布，也可简单记为：

\begin{aligned} f_{(1)} (x) & = n f (x) [1 - F (x)]^{n - 1} \\ f_{(n)} (x) & = n f (x) [F (x)]^{n - 1} \end{aligned}