均值

Mean 平均值；中心位置

均值是描述一组数或一个随机变量中心位置的量。根据对象不同，均值至少有两种常见含义：

二者都刻画“中心”，但前者来自实际样本，后者来自概率模型。

给定 $N$ 个已经观察到的样本值 $x_{1}, \dots, x_{N}$ ，样本均值为

μ = \frac{x_{1} + \dots + x_{N}}{N} .

例如五个新生年龄为 $18, 17, 18, 19, 17$ ，则

μ = \frac{18 + 17 + 18 + 19 + 17}{5} = 17.8 .

样本均值只说明这一次样本实际呈现的平均水平。换一组样本，即使总体概率规律不变，样本均值也可能变化。

若随机变量 $x$ 可能取值为 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，对应概率为 $p_{1}, \dots, p_{n}$ ，且 $p_{i} \geq 0$ 、 $\sum_{i} p_{i} = 1$ ，则概率均值为

m = E [x] = p_{1} x_{1} + \dots + p_{n} x_{n} = p \cdot x .

例如新生年龄为 $17, 18, 19$ 的概率分别是 $.2, .5, .3$ ，随机抽一名新生的期望年龄是

m = E [x] = (.2) 17 + (.5) 18 + (.3) 19 = 18.1 .

这与上一节的 $17.8$ 不冲突： $17.8$ 是已经抽到五个人后的样本均值， $18.1$ 是概率模型下尚未抽样时的长期中心。

连续随机变量用概率密度 $p (x)$ 表示时，均值写成积分：

m = E [x] = \int_{- \infty}^{\infty} x p (x) d x .

如果样本来自同一概率模型，并满足相应独立或弱依赖条件，样本均值会随着样本量增加而趋近期望。公平硬币中令正面为 $1$ 、反面为 $0$ ，则

E [x] = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} .

$N$ 次投掷中正面的比例就是样本均值，大数定律说明它在长期会趋近 $\frac{1}{2}$ 。若采用强大数律的表述，这个收敛是以概率 $1$ 成立的，因此也称为几乎必然收敛。

需要注意的是，长期趋近不等于短期补偿。若投掷相互独立，前面连续出现多次反面，并不会提高下一次正面的概率；下一次正面的概率仍是 $\frac{1}{2}$ 。已经发生的结果只会改变当前有限样本的均值，不会改变独立试验下一次的概率。

均值给出中心位置，方差衡量取值离中心的平方距离平均，标准差是方差的平方根。样本方差围绕样本均值计算，概率方差围绕期望计算：

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}, σ^{2} = E [(x - m)^{2}] .

当所有取值都等于同一个常数时，均值等于该常数，方差和标准差都为 $0$ 。此时围绕均值没有离散程度，含有除以标准差的标准化表达式不能直接使用。