二项分布

Binomial Distribution) $X \sim B (n, p$

\begin{array}{r} P_{n} (k) = P {X = k} = B (k, n, p) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} \end{array}

期望： $E (X) = n p$
方差： $D (X) = n p (1 - p)$

出现的项恰好为二项式定理的二项式系数，故称 二项分布

当二项分布 $n = 1$ 时，为两点分布/0-1 分布/伯努利分布
$X \sim B (1, p)$

\begin{array}{r} P (X = x) = p^{x} (1 - p)^{1 - x} \end{array}

期望： $E (X) = p$
方差： $D (X) = p (1 - p)$

若进行 $N$ 次公平硬币投掷，令 $X$ 为正面次数，则

X \sim B (N, \frac{1}{2}), P (X = k) = (\binom{N}{k}) \frac{1}{2^{N}} .

它的均值和方差为

E [X] = \frac{N}{2}, Var (X) = N \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{N}{4} .

$N = 3$ 时， $0, 1, 2, 3$ 次正面的概率为

P (X = 0, 1, 2, 3) = \frac{1}{8} (1, 3, 3, 1),

所以平均正面数是

E [X] = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = 1.5 .

$N = 4$ 时， $0, 1, 2, 3, 4$ 次正面的概率正好是二项式系数归一化：

P (X = 0, 1, 2, 3, 4) = \frac{1}{16} (1, 4, 6, 4, 1) .

这个离散分布以 $N / 2$ 为中心，标准差为 $\sqrt{N} / 2$ 。标准化后

Z = \frac{X - N / 2}{\sqrt{N} / 2},

当 $N$ 增大时趋近标准正态分布，这就是 De Moivre-Laplace 型的中心极限定理。

当 $N$ 为偶数时，中心点 $X = N / 2$ 的概率为

P (X = N / 2) = \frac{1}{2^{N}} \frac{N!}{(N / 2)! (N / 2)!} .

利用 Stirling 公式

N! \approx \sqrt{2 π N} {(\frac{N}{e})}^{N}

可得

P (X = N / 2) \approx \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π N}} = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ}, σ = \frac{\sqrt{N}}{2} .

这与均值 $N / 2$ 、方差 $N / 4$ 的正态近似在中心处的密度高度相匹配。