线性变换

#Transform #Linear

Linear Transformation
描述了向量空间之间的一种特殊类型的函数关系。线性变换保持了向量加法和标量乘法的结构，是数学和工程学中一个非常强大的工具。

通过矩阵表示，可以方便地进行计算和理论分析。不仅在理论数学中有其基础地位，在实际应用中也极为广泛和重要。

一、基本定义

$V_{n}, U_{m}$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间， $T$ 是 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的映射，如果满足：

任意给定 $α_{1}, α_{2} \in V_{n}$ 有： $T (α_{1} + α_{2}) = T (α_{1}) + T (α_{2})$
任意给定 $α \in V_{n}, λ \in R$ 有： $T (λ α) = λ T (α)$

就称为线性映射（即保持线性组合的映射）

更进一步，如果 $U_{m} = V_{n}$ ，则 $T$ 是从线性空间 $V_{n}$ 到其自身的线性映射，称为线性变换

基本性质

\begin{array}{r} T 0 T (- α) = - T (α) \end{array}

\begin{array}{r} β = k_{1} α_{1} + \dots + k_{m} α_{m} T β = k_{1} T α_{1} + \dots + k_{m} T α_{m} \end{array}

若 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 线性相关，则若 $T α_{1}, \dots, T α_{n}$ 线性相关

线性变换 $T$ 的像集 $T (V_{n})$ 是一个线性空间，称为线性变换的像空间

使 $T α = 0$ 的 $α$ 全体也是一个线性空间，称为线性变换的核

\begin{array}{r} N_{T} = {α | α \in V_{n}, T α = 0} \end{array}

叠加原理

\begin{aligned} o {α_{1} f_{1} (t) + α_{2} f_{2} (t)} & = α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t) \end{aligned}

可加性/叠加性： $o {f_{1} (t) + f_{2} (t)} = x_{1} (t) + x_{2} (t)$
齐次性/均匀性： $o {α f_{1} (t)} = α x_{1} (t)$

AI 结构化补充（2026-05-02）

通过矩阵表示，可以方便地进行计算和理论分析。不仅在理论数学中有其基础地位，在实际应用中也极为广泛和重要。

一、基本定义

$V_{n}, U_{m}$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间， $T$ 是 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的映射，如果满足：

任意给定 $α_{1}, α_{2} \in V_{n}$ 有： $T (α_{1} + α_{2}) = T (α_{1}) + T (α_{2})$
任意给定 $α \in V_{n}, λ \in R$ 有： $T (λ α) = λ T (α)$

就称为线性映射（即保持线性组合的映射）

更进一步，如果 $U_{m} = V_{n}$ ，则 $T$ 是从线性空间 $V_{n}$ 到其自身的线性映射，称为线性变换

线性性公式与零向量

可加性和齐次性可以合并为一个判别式：对任意向量 $v, w$ 和标量 $c, d$ ，

T (c v + d w) = c T (v) + d T (w) .

这个公式说明线性变换保持所有有限线性组合。取 $c = 0$ 可得

T (0) = T (0 v) = 0 T (v) = 0,

所以线性变换必须把零向量送到零向量，并且 $T (- v) = - T (v)$ 。这也是排除许多候选变换的最快方法。

叠加原理

线性系统中的叠加原理就是线性性公式的应用。若算子 $o$ 把输入信号 $f_{i} (t)$ 映到输出信号 $x_{i} (t)$ ，则

o {α_{1} f_{1} (t) + α_{2} f_{2} (t)} = α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t) .

其中可加性给出 $o {f_{1} (t) + f_{2} (t)} = x_{1} (t) + x_{2} (t)$ ，齐次性给出 $o {α f_{1} (t)} = α x_{1} (t)$ 。只要任意线性组合都按同样系数组合输出，系统就是线性的。

基向量的像决定全部

若 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 是输入空间 $V$ 的一组基，则任意 $u \in V$ 都能唯一写成

u = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} v_{i} .

线性性立即给出

T (u) = T (\sum_{i = 1}^{n} c_{i} v_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} T (v_{i}) .

因此知道一组基向量的像 $T (v_{1}), \dots, T (v_{n})$ ，就知道 $T$ 对全空间的作用。矩阵表示正是这个事实的坐标化：在标准基下，矩阵 $A$ 的第 $i$ 列就是 $T (e_{i})$ ，所以 $T (x) = A x$ 。

线性变换矩阵与组合

每个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 都定义一个从 $R^{n}$ 到 $R^{m}$ 的线性变换

T (x) = A x,

因为

A (c v + d w) = c A v + d A w .

如果 $S, T$ 都是线性变换，则复合 $S T$ 仍然线性：

(S T) (v) = S (T (v)) .

在矩阵语言中，复合对应矩阵乘法；先做 $T (x) = A x$ 再做 $S (y) = B y$ ，总作用是 $B A x$ 。

典型线性例子与非线性判别

固定向量 $a = (1, 3, 4)$ ，定义

T (v) = a \cdot v = v_{1} + 3 v_{2} + 4 v_{3}, v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) .

这是从 $R^{3}$ 到 $R$ 的线性变换，因为点积对输入向量满足加法和数乘分配律；矩阵形式是行矩阵

[\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] .

长度函数 $L (v) = ∥ v ∥$ 不是线性变换。可加性若成立就应有 $∥ v + w ∥ = ∥ v ∥ + ∥ w ∥$ ，但通常只有三角不等式

∥ v + w ∥ \leq ∥ v ∥ + ∥ w ∥ .

齐次性对负数也失败，因为

∥ c v ∥ = | c | ∥ v ∥,

当 $c < 0$ 时不等于 $c ∥ v ∥$ 。含平方、坐标乘积、长度、取最大分量等非线性运算的映射通常都不是线性的。

平移与仿射边界

纯平移

T (v) = v + u_{0}

一般不是线性变换。若 $u_{0} \neq 0$ ，则 $T (0) = u_{0} \neq 0$ ；同时

T (v + w) = v + w + u_{0}, T (v) + T (w) = v + w + 2 u_{0} .

唯一例外是 $u_{0} = 0$ ，此时 $T (v) = v$ 退化为恒等变换。更一般的

F (v) = A v + u_{0}

属于仿射变换：它保持直线、线段比例和平行性，但在 $u_{0} \neq 0$ 时不保持原点，也不保持任意线性组合。

几何作用：线段、三角形与房子

二维平面绕原点旋转 $30^{\circ}$ 是线性变换；它的 domain 和 range 都是 $x y$ 平面。矩阵为

R_{30^{\circ}} = [\begin{matrix} \cos 30^{\circ} & - \sin 30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} & \cos 30^{\circ} \end{matrix}] .

旋转、伸缩、反射、投影和剪切只要固定原点并由矩阵给出，就都是线性变换。线性变换把线段送到线段：若

u = (1 - t) v + t w, 0 \leq t \leq 1,

则

T (u) = (1 - t) T (v) + t T (w) .

所以中点、三等分点、重心等均分点会被送到对应的均分点。三角形同理：若 $u = λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + λ_{3} v_{3}$ 且 $λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 1$ ，则 $T (u)$ 是输出三角形中相同系数的点。

把一个二维“房子”的顶点排成矩阵 $H$ ，线性变换会把整栋房子变成 $A H$ 。这里 $H$ 不是一个抽象代号，而是把 12 个顶点作为列排成的具体坐标：

H = [\begin{matrix} - 6 & - 6 & - 7 & 0 & 7 & 6 & 6 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & - 6 \\ - 7 & 2 & 1 & 8 & 1 & 2 & - 7 & - 7 & - 2 & - 2 & - 7 & - 7 \end{matrix}] .

这些列依次是 $(- 6, - 7), (- 6, 2), (- 7, 1), (0, 8), (7, 1), (6, 2), (6, - 7), (- 3, - 7), (- 3, - 2), (0, - 2), (0, - 7), (- 6, - 7)$ ，最后一列回到起点以闭合轮廓。例如剪切矩阵

A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]

给出

T (x, y) = (x, x + y),

所以它逐列作用为

A [\begin{matrix} x_{j} \\ y_{j} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{j} \\ x_{j} + y_{j} \end{matrix}] .

作用在上面的 $H$ 上时，第一行坐标保持不变，第二行变成

(- 13, - 4, - 6, 8, 8, 8, - 1, - 10, - 5, - 2, - 7, - 13) .

它保持 $y$ 轴上的点不动，把 $x > 0$ 的顶点向上推、 $x < 0$ 的顶点向下推。边仍是直线，但角度和长度一般改变；若矩阵秩降低，房子甚至会被压到一条线或一个点。

导数与积分算子

导数是函数空间之间的线性变换。令输入空间为所有二次多项式

P_{2} = {a + b x + c x^{2}},

输出空间为所有一次多项式

P_{1} = {p + q x} .

导数算子

T (u) = \frac{d u}{d x}

满足

T (a + b x + c x^{2}) = b + 2 c x .

相对于输入基 $(1, x, x^{2})$ 和输出基 $(1, x)$ ，矩阵是

A_{T} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] .

例如

u = 6 - 4 x + 3 x^{2}

在输入基 $(1, x, x^{2})$ 下的坐标是 $(6, - 4, 3)^{T}$ 。矩阵乘法给出

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 6 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 4 \\ 6 \end{matrix}],

对应输出基 $(1, x)$ 下的函数

\frac{d u}{d x} = - 4 + 6 x .

它的 kernel 是常数函数空间 $span {1}$ ，range 是整个 $P_{1}$ 。积分算子

T^{+} (f) = \int_{0}^{x} f (t) d t

从 $P_{1}$ 指向 $P_{2}$ ，并选取常数项为零的反向代表：

T^{+} (p + q x) = p x + \frac{1}{2} q x^{2} .

它是伪逆式方向： $T T^{+} = I_{P_{1}}$ ，但 $T^{+} T$ 不能恢复二次多项式的常数项。

在同一组二次/一次多项式基下，导数矩阵

A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

的一个右逆式积分矩阵是

A^{+} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}] .

直接相乘得到

A A^{+} = I_{2}, A^{+} A = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

因此先积分再求导恢复所有一次多项式；先求导再积分只保留 $x$ 和 $x^{2}$ 的坐标，常数项被投影掉。

Range、kernel 与可逆性

线性变换的像空间也称 range：

range (T) = {T (v) : v \in V} \subseteq W .

使输出为零的输入全体称为 kernel：

\ker (T) = {v \in V : T (v) = 0} .

当 $T (v) = A v$ 时，range 就是矩阵 $A$ 的 column space，kernel 就是矩阵 $A$ 的 nullspace。线性变换可逆的充要条件是：range 覆盖整个输出空间 $W$ ，并且 kernel 只有零向量。前者保证每个输出都有来源，后者保证来源唯一。

可逆不等于线性

可逆性只说明每个输出有且仅有一个输入来源，不自动推出线性。实数上的

x \mapsto x^{3}, x \mapsto x + 9, x \mapsto \frac{1}{x} (x \neq 0)

都是可逆映射，但它们都不是实数向量空间上的线性变换： $x^{3}$ 不保持加法， $x + 9$ 不把 $0$ 送到 $0$ ， $1 / x$ 不保持线性组合。相反， $x \mapsto x^{2}$ 在 $R$ 上不可逆，因为同一个正数通常有两个来源，而负数没有来源。