对称矩阵

Symmetric Matrices
在线性代数的理论和应用中具有很重要的地位,最为重要的一类矩阵

一个对称阵的特征值一定是实数
特征向量可以选择标准正交基

由对称矩阵和标准正交矩阵的性质知道： $S = S^{T}, Q^{T} = Q^{- 1}$
$Λ$ ：特征值为实数的对角阵
$Q$ ：特征向量为标准正交基的矩阵

则对称矩阵矩阵可以对角化分解为：

\begin{array}{r} S = Q Λ Q^{- 1} = Q Λ Q^{T} \end{array}

\begin{aligned} S & = Q Λ Q^{T} = (\begin{array}{c} q_{1} & \dots & q_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} q_{1}^{T} \\ ⋮ \\ q_{n}^{T} \end{array}) \\ = λ_{1} q_{1} q_{1}^{T} + \dots + λ_{n} q_{n} q_{n}^{T} \end{aligned}

\begin{array}{r} S q_{i} = (λ_{1} q_{1} q_{1}^{T} + \dots + λ_{n} q_{n} q_{n}^{T}) q_{i} = λ_{i} q_{i} \end{array}

非对称阵如果特征值为特征方程的重根，则不一定有完全线性独立的特征向量，也就是说不一定可以对角化,但是对称矩阵一定可以对角化

二次型

与二次型紧密相关

给定一个二次型就能唯一确定一个对称矩阵
给定一个对称矩阵就能唯一确定一个二次型

矩阵的正定性

希尔维斯特判据：
正定：矩阵的各阶主子式均大于零

定义

正定矩阵 Positive Definite Matrix
正定矩阵是对称矩阵的一个特例，具有一些良好的性质，使得它在理论和实际问题中都非常有用。
特征值全为正数的对称矩阵(all $λ > 0$ )

半正定矩阵 PSD Positive Semidefinite Matrix
正定矩阵概念的扩展。

负定矩阵

半负定矩阵

判别方法

重要应用

检验是否有最小值

AI 结构化补充（2026-05-02）

Symmetric Matrices
对称矩阵是满足

A = A^{T}

的方阵，也就是主对角线两侧的元素互为镜像： $a_{i j} = a_{j i}$ 。它不是普通方阵的一个小修饰，而是把行结构和列结构绑定在一起的矩阵类型；许多关于长度、夹角、能量和曲率的问题最终都会落到对称矩阵上。

基本性质

对称矩阵首先必须是方阵。若 $A = A^{T}$ 且 $A$ 可逆，则

(A^{- 1})^{T} = (A^{T})^{- 1} = A^{- 1},

所以可逆对称矩阵的逆仍然对称。

任意矩阵都能自然产生对称矩阵。只要乘积有意义，

(A^{T} A)^{T} = A^{T} A, (A A^{T})^{T} = A A^{T} .

因此 $A^{T} A$ 与 $A A^{T}$ 总是对称的，即使 $A$ 本身是长方形矩阵。 $A^{T} A$ 记录 $A$ 的列向量两两内积， $A A^{T}$ 记录 $A$ 的行向量两两内积；它们通常不是同一个矩阵，维度也可能不同。

这种构造解释了为什么最小二乘、Gram 矩阵、正交投影和很多能量模型都反复出现 $A^{T} A$ ：它把一个一般线性映射转成了可由内积解释的对称对象。

有限维谱结构

实对称矩阵的特殊性可以概括为两点：全部特征值为实数，并且可以选出一组正交归一特征向量。因此对称矩阵的对角化不是一般的 $X Λ X^{- 1}$ ，而是正交对角化：

S = Q Λ Q^{T}, Q^{T} Q = I .

这里 $Q$ 的列向量 $q_{1}, \dots, q_{n}$ 是单位正交特征向量， $Λ$ 是实特征值对角矩阵。展开成秩一投影的形式就是

S = λ_{1} q_{1} q_{1}^{T} + \dots + λ_{n} q_{n} q_{n}^{T} .

每个 $q_{i} q_{i}^{T}$ 把向量投影到第 $i$ 个主方向， $λ_{i}$ 给出该方向上的伸缩系数。非对称矩阵即使有重特征值，也不一定有足够多的线性无关特征向量；实对称矩阵则总能正交对角化。

一个典型的二阶例子是

S = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}) .

其特征多项式为

det (S - λ I) = λ^{2} - 5 λ,

所以特征值是 $λ = 0, 5$ 。可取对应特征向量

x_{0} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}), x_{5} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}),

并且 $x_{0}^{T} x_{5} = 0$ 。归一化后，

q_{0} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}), q_{5} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}),

于是

Q = \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}), Λ = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}), S = Q Λ Q^{T} .

这个例子也说明了为什么对称性会强迫正交性： $λ = 0$ 的特征向量在零空间中， $λ = 5$ 的特征向量在列空间中；对称矩阵的行空间与列空间相同，而零空间垂直于行空间。

复数边界

实对称矩阵有实特征值，但这个结论不能推广到所有实矩阵。对任意实矩阵，若存在复特征值

λ = a + i b,

则其共轭

\overset{―}{λ} = a - i b

也会作为特征值出现，对应特征向量也成共轭对。二维旋转矩阵就是最简单的提醒：

R_{θ} = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

的特征值为

λ_{1} = \cos θ + i \sin θ, λ_{2} = \cos θ - i \sin θ .

因此“实矩阵”本身并不保证实谱；真正关键的是对称性。进入复矩阵时，正确的对应条件也不是单纯的 $S^{T} = S$ ，而是 Hermitian 条件

S = {\overset{―}{S}}^{T} .

相对地，实反对称矩阵 $A = - A^{T}$ 的特征值会落在纯虚方向上。
这类反对称矩阵在复内积下仍可选出正交归一的复特征向量，但其特征值不再是实数。

二次型入口

对称矩阵与二次型一一对应。给定实对称矩阵 $S$ ，二次型是

q (x) = x^{T} S x .

反过来，一个实二次型中的交叉项可以唯一归入对称矩阵： $x_{i} x_{j}$ 与 $x_{j} x_{i}$ 合并后放到 $s_{i j} = s_{j i}$ 。因此二次型天然只看矩阵的对称部分。对任意实矩阵 $M$ ，

x^{T} M x = x^{T} (\frac{M + M^{T}}{2}) x .

反对称部分在二次型中会相互抵消。

正定性就是从二次型进入对称矩阵的核心入口：

S ≻ 0 ⟺ x^{T} S x > 0 (x \neq 0) .

若 $S = Q Λ Q^{T}$ ，则 $x^{T} S x = \sum_{i} λ_{i} z_{i}^{2}$ ，其中 $z = Q^{T} x$ 。所以正定等价于所有特征值为正；半正定等价于所有特征值非负。希尔维斯特判据则给出另一种判别方式：实对称矩阵正定当且仅当所有顺序主子式均大于零。

消元与 $L D L^{T}$

普通消元把矩阵写成 $A = L D U$ 或 $A = L U$ ，但这个形式会隐藏对称性。若 $S = S^{T}$ ，并且消元过程中不需要行交换，则

S = L D L^{T} .

这里 $L$ 是单位下三角矩阵， $D$ 是由主元组成的对角矩阵，最后一个因子不是独立的 $U$ ，而是 $L^{T}$ 。原因是对称矩阵的上三角部分由下三角部分转置得到；消元乘子写进 $L$ 后，右侧对应部分自动是 $L^{T}$ 。

这个分解保留了对称矩阵的结构：

(L D L^{T})^{T} = L D^{T} L^{T} = L D L^{T} .

由于 $D$ 本身对称，整个乘积必然对称。计算上， $L D L^{T}$ 只需存储 $L$ 和 $D$ ，不必额外存储一个独立的 $U$ ；理论上，它也把主元符号直接暴露出来，方便判断正定、不定和半正定情形。

对实对称矩阵，主元符号和特征值符号还有更强的对应关系：在无零主元的 $L D L^{T}$ 分解下，正特征值的个数等于正主元的个数，负特征值的个数也相应匹配。直观证明是把

S = L D L^{T}

中的 $L$ 连续变到 $I$ ，矩阵从 $L D L^{T}$ 连续变为 $D$ 。特征值在这个过程中连续移动；只要主元不为零，矩阵不经过奇异状态，特征值就不能穿过 $0$ 改变符号。因此对称矩阵的谱符号可以通过消元主元读出。特别地，

λ_{i} > 0 对所有 i ⟺ 所有主元都为正 .

正定矩阵

正定矩阵 Positive Definite Matrix 是对称矩阵中二次型始终为正的一类：

x^{T} S x > 0 (x \neq 0) .

它等价于所有特征值为正，也等价于 $L D L^{T}$ 分解中的对角主元全为正。半正定矩阵 PSD Positive Semidefinite Matrix) 则允许 $x^{T} S x = 0$ 出现在非零方向上，对应特征值非负。

正定矩阵的重要应用是判定能量、距离、方差和局部最小值。在多元微积分中，Hessian 矩阵若在驻点处正定，则该点是严格局部最小值；若不定，则存在上升和下降方向。

相邻概念

对称矩阵连接矩阵转置、二次型、矩阵对角化、正交投影和最小二乘。 $A^{T} A$ 是列向量 Gram 矩阵， $A A^{T}$ 是行向量 Gram 矩阵； $L D L^{T}$ 则是对称矩阵在消元中的结构化形式。谱分解偏重几何主方向， $L D L^{T}$ 偏重计算过程，二次型偏重能量和正定性。

二次型