线性微分方程

Linear Differential Equation
控制系统的工具，是微分方程的一种，其特点是未知函数及其各阶导数都是一次的（即没有乘积项或非线性函数），并且没有常数项（对于齐次方程）。

通解为自由运动的模态特征方程的根
特解为系统特定输入对应的输出

一、基本定义

一个 $n$ 阶线性微分方程的一般形式可以写为：

a_{n} (x) \frac{d^{n} y}{d x^{n}} + a_{n - 1} (x) \frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}} + \dots + a_{1} (x) \frac{d y}{d x} + a_{0} (x) y = f (x)

$y$ 是未知函数，是自变量 $x$ 的函数。
$a_{n} (x), a_{n - 1} (x), \dots, a_{0} (x)$ 是系数函数，它们可以是常数或 $x$ 的函数。
$f (x)$ 是非齐次项（或强迫项），它只依赖于自变量 $x$ 。

二、线性微分方程解的结构

以二阶微分方程为例（可以扩展到 $n$ 阶微分方程）

1. 齐次线性方程

\begin{array}{r} y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0 \end{array}

如果 $y_{1} (x)$ 和 $y_{2} (x)$ 是方程的两个解，则线性组合也为方程的解
如果 $y_{1} (x)$ 和 $y_{2} (x)$ 是方程的两个线性无关的特解，则线性组合为方程的通解

\begin{array}{r} y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) \end{array}

2. 非齐次线性方程

\begin{array}{r} y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f (x) \end{array}

$y^{*} (x)$ 是非齐次线性方程的一个特解， $Y (x)$ 是对应齐次方程的通解
则 $y = Y (x) + y^{*} (x)$ 为非齐次线性方程的通解

3. 微分方程的解的叠加原理

微分方程的解符合叠加原理：

\begin{array}{r} y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{1} (x) + f_{2} (x) \end{array}

$y_{1}^{*}$ 是 $y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{1} (x)$ 的特解
$y_{2}^{*}$ 是 $y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{2} (x)$ 的特解
则 $y_{1}^{*} + y_{2}^{*}$ 为方程的特解

三、求解方法

常数变易法

如果 $C y_{1} (x)$ 为齐次线性微分方程的通解
则可以利用变换将通解中的常数换为未知函数 $u (x)$
利用变换 $y = u (x) y_{1} (x)$ 来解非齐次线性方程

四、应用

线性微分方程在许多领域都有广泛应用：

物理学：描述简谐运动 Simple Harmonic Motion、电路 Electric Circuits、热传导 Heat Conduction、波传播 Wave Propagation) 等。
工程学：设计控制系统 Control Systems、分析机械振动、电路分析。
生物学：建模种群动态、药物动力学。
经济学：建模经济增长、市场波动。