常系数线性微分方程

Constant-Coefficient Differential Equation
未知函数的各阶导数都由常数系数乘以的线性组合构成的微分方程

从二阶微分方程开始讨论，然后扩展到高阶微分方程。

一、常系数齐次线性微分方程

二阶

\begin{array}{r} y^{″} + p y^{'} + q y = 0 \end{array}

当 $r$ 为常数时， $y = e^{r x}$ 的各阶导数都只差常数因子
$y^{'} = (e^{r x})^{'} = r e^{r x}$ $y^{″} = (e^{r x})^{″} = (r e^{r x})^{'} = r^{2} e^{r x}$
代入微分方程得到特征方程： $r^{2} + p r + q = 0$
由一元二次方程知判别式为： $Δ = p^{2} - 4 q$

判别式	根的情况	对应通解
$Δ > 0$	两不等实根 $r = \frac{- p \pm \sqrt{Δ}}{2}$	$y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
$Δ = 0$	相等实根 $r_{1} = r_{2} = - \frac{p}{2}$	$y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$
$Δ < 0$	共轭复根 $r = α \pm β i$	$y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)$

高阶

使用微分算子 D表示对 $x$ 的求导运算 $\frac{d}{d x}$ ， $D y = \frac{d y}{d x}$

\begin{array}{r} L (D) = D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} D + p_{n} \end{array}

$n$ 阶常系数微分方程：

\begin{array}{r} L (D) y = (D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n}) y = 0 \end{array}

特征方程：

\begin{array}{r} r^{n} + p_{1} r^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} r + p_{n} = 0 \end{array}

根的情况	对应通解
单实根	$y = C e^{r x}$
$k$ 重实根	$y = (C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1}) e^{r x}$
一对共轭复根	$y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)$
$k$ 重共轭复根	$y = e^{α x} [(C_{1} + \dots + C_{k} x^{k - 1}) \cos β x + (D_{1} + \dots + D_{k} x^{k - 1}) \sin β x]$

欧拉公式

\begin{aligned} y_{1} & = e^{(α + β i) x} = e^{α x} (\cos β x + i \sin β x) \\ y_{2} & = e^{(α - β i) x} = e^{α x} (\cos β x - i \sin β x) \\ Y_{1} & = \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}) = e^{α x} \cos β x \\ Y_{2} & = \frac{1}{2 i} (y_{1} - y_{2}) = e^{α x} \sin β x \\ y & = C_{1} Y_{1} + C_{2} Y_{2} = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x) \end{aligned}

二、常系数非齐次线性微分方程

\begin{array}{r} y^{″} + p y^{'} + q y = f (x) \end{array}

形式一

\begin{array}{r} f (x) = e^{λ x} P_{m} (x) \end{array}

多项式和指数函数的乘积的导数仍然是多项式和指数函数的乘积
$P_{m} (x) = a_{0} x^{m} + a_{1} x^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} x + a_{m}$
$R_{m} (x) = b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m - 1} + \dots + b_{m - 1} x + b_{m}$

$λ$ 和特征方程的关系	特解形式
$λ$ 不为特征方程的根	$y^{*} = R_{m} (x) e^{λ x}$
$λ$ 为特征方程的单根	$y^{*} = x R_{m} (x) e^{λ x}$
$λ$ 为特征方程的 $k$ 重根	$y^{*} = x^{k} R_{m} (x) e^{λ x}$

形式二

\begin{array}{r} f (x) = e^{λ x} [P_{l} (x) \cos ω x + Q_{n} (x) \sin ω x] \end{array}

$λ + ω i$ 和特征方程的关系	特解形式
$λ + ω i$ 不为特征方程的根	$y^{*} = [R_{m}^{1} \cos ω x + R_{m}^{2} \cos ω x] e^{λ x}$
$λ + ω i$ 为特征方程的单根	$y^{*} = x [R_{m}^{1} \cos ω x + R_{m}^{2} \cos ω x] e^{λ x}$
$λ + ω i$ 为特征方程的 $k$ 重根	$y^{*} = x^{k} [R_{m}^{1} \cos ω x + R_{m}^{2} \cos ω x] e^{λ x}$

AI 结构化补充（2026-05-02）

Constant-Coefficient Differential Equation
未知函数的各阶导数都由常数系数乘以的线性组合构成的微分方程

从二阶微分方程开始讨论，然后扩展到高阶微分方程。

一、常系数齐次线性微分方程

二阶

\begin{array}{r} y^{″} + p y^{'} + q y = 0 \end{array}

判别式	根的情况	对应通解
$Δ > 0$	两不等实根 $r = \frac{- p \pm \sqrt{Δ}}{2}$	$y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
$Δ = 0$	相等实根 $r_{1} = r_{2} = - \frac{p}{2}$	$y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$
$Δ < 0$	共轭复根 $r = α \pm β i$	$y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)$

高阶

使用微分算子 D表示对 $x$ 的求导运算 $\frac{d}{d x}$ ， $D y = \frac{d y}{d x}$

\begin{array}{r} L (D) = D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} D + p_{n} \end{array}

$n$ 阶常系数微分方程：

\begin{array}{r} L (D) y = (D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n}) y = 0 \end{array}

特征方程：

\begin{array}{r} r^{n} + p_{1} r^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} r + p_{n} = 0 \end{array}

根的情况	对应通解
单实根	$y = C e^{r x}$
$k$ 重实根	$y = (C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1}) e^{r x}$
一对共轭复根	$y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)$
$k$ 重共轭复根	$y = e^{α x} [(C_{1} + \dots + C_{k} x^{k - 1}) \cos β x + (D_{1} + \dots + D_{k} x^{k - 1}) \sin β x]$

欧拉公式

\begin{aligned} y_{1} & = e^{(α + β i) x} = e^{α x} (\cos β x + i \sin β x) \\ y_{2} & = e^{(α - β i) x} = e^{α x} (\cos β x - i \sin β x) \\ Y_{1} & = \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}) = e^{α x} \cos β x \\ Y_{2} & = \frac{1}{2 i} (y_{1} - y_{2}) = e^{α x} \sin β x \\ y & = C_{1} Y_{1} + C_{2} Y_{2} = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x) \end{aligned}

与一阶线性系统的等价

常系数方程可以从标量形式转成矩阵形式。对

u^{″} + B u^{'} + C u = 0

令状态向量为

v = (\begin{matrix} u \\ u^{'} \end{matrix}),

则

v^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - C & - B \end{matrix}) v .

因此二阶特征方程

λ^{2} + B λ + C = 0

同时也是一阶系统矩阵的特征方程。标量方法中的 $u = e^{λ t}$ ，在线性代数中对应

v (t) = e^{λ t} x, A x = λ x .

如果特征值重合且只有一个特征向量，标量方程中的第二个解会出现 $t e^{λ t}$ ；矩阵语言中这是 Jordan 块在矩阵指数中产生的多项式因子。

典型的无阻尼方程

y^{″} + y = 0

有特征根 $λ = i, - i$ 。转成系统后

{(\begin{matrix} y \\ y^{'} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y \\ y^{'} \end{matrix}),

初值 $(y (0), y^{'} (0)) = (1, 0)$ 给出

(\begin{matrix} y (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos t \\ - \sin t \end{matrix}),

也就是状态点在圆周上运动。

二、常系数非齐次线性微分方程

\begin{array}{r} y^{″} + p y^{'} + q y = f (x) \end{array}

形式一

\begin{array}{r} f (x) = e^{λ x} P_{m} (x) \end{array}

$λ$ 和特征方程的关系	特解形式
$λ$ 不为特征方程的根	$y^{*} = R_{m} (x) e^{λ x}$
$λ$ 为特征方程的单根	$y^{*} = x R_{m} (x) e^{λ x}$
$λ$ 为特征方程的 $k$ 重根	$y^{*} = x^{k} R_{m} (x) e^{λ x}$

形式二

\begin{array}{r} f (x) = e^{λ x} [P_{l} (x) \cos ω x + Q_{n} (x) \sin ω x] \end{array}

$λ + ω i$ 和特征方程的关系	特解形式
$λ + ω i$ 不为特征方程的根	$y^{*} = [R_{m}^{1} \cos ω x + R_{m}^{2} \cos ω x] e^{λ x}$
$λ + ω i$ 为特征方程的单根	$y^{*} = x [R_{m}^{1} \cos ω x + R_{m}^{2} \cos ω x] e^{λ x}$
$λ + ω i$ 为特征方程的 $k$ 重根	$y^{*} = x^{k} [R_{m}^{1} \cos ω x + R_{m}^{2} \cos ω x] e^{λ x}$