可降阶的高阶微分方程

将特殊的高阶微分方程降阶为一阶微分方程

一、情形 1

只需要接连积分 $n$ 次，得到含有 $n$ 个任意常数的通解

二、情形 2

1. 设 $y^{\prime }=p$，则有 $y^{″}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}}=p^{\prime }$
2. $p^{\prime }=f(x,p)$，为一阶微分方程，求得通解 $p=\phi (x,C_1)$
3. 进一步得到一阶微分方程 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=\phi (x,C_1)$，直接进行积分，得到通解

三、情形 3

没有显式出现自变量，令 $y^{\prime }=p$，则进一步有：

则得到可分离变量的一阶微分方程：

分离并积分得到通解