傅里叶级数

Fourier Series

本质上是函数空间中以三角函数系为基底，来表达函数。将周期函数分解为一系列简单正弦和余弦函数（或复指数函数）之和的数学方法，揭示了周期信号的频率成分

设 $f_{T} (t)$ 是以 $T$ 为周期的实值函数，且在 $[- \frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$ 上满足狄利克雷条件:

连续或只有有限个第一类间断点
只有有限个极值点
则在 $f_{T} (t)$ 的连续点处可以表示为无穷级数

一、傅里叶级数的三角形式

对于满足狄利克雷条件的周期函数 $f_{T} (t)$ ，其傅里叶级数展开式为：

\begin{array}{r} f_{T} (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n ω_{0} t + b_{n} \sin n ω_{0} t) \end{array}

$ω_{0} = \frac{2 π}{T}$ 是基波角频率。
$a_{0}, a_{n}, b_{n}$ 是傅里叶系数，计算公式如下：

\begin{aligned} ω_{0} & = \frac{2 π}{T} \\ a_{n} & = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) \cos n ω_{0} t d t \\ b_{n} & = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) \sin n ω_{0} t d t \end{aligned}

二、傅里叶级数的复数形式

利用欧拉公式 $e^{j x} = \cos x + j \sin x$ ，傅里叶级数可以表示为更简洁的复数形式：

\begin{array}{r} f_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n ω_{0} t} \end{array}

其中 $c_{n}$ 是复傅里叶系数，计算公式为：

\begin{array}{r} c_{n} = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) e^{- j n ω_{0} t} d t (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \end{array}

由傅里叶级数的三角形式和欧拉公式知：

\begin{aligned} \cos (n ω_{0} t) = \frac{1}{2} (e^{j n ω_{0} t} + e^{- j n ω_{0} t}) \\ \sin (n ω_{0} t) = \frac{1}{2 i} (e^{j n ω_{0} t} - e^{- j n ω_{0} t}) \end{aligned}

\begin{array}{r} f_{T} (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a_{n} - j b_{n}}{2} e^{j n ω_{0} t} + \frac{a_{n} + j b_{n}}{2} e^{- j n ω_{0} t}) \end{array}

复傅里叶系数与三角形式系数的关系如下：

c_{0} = \frac{a_{0}}{2}, c_{n} = \frac{a_{n} - j b_{n}}{2}, c_{- n} = \frac{a_{n} + j b_{n}}{2}

三、傅里叶级数的物理意义

在三角形式中，令：

A_{0} = \frac{a_{0}}{2}, A_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}, \cos θ_{n} = \frac{a_{n}}{A_{n}}, \sin θ_{n} = - \frac{b_{n}}{A_{n}}

\begin{aligned} f_{T} (t) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n ω_{0} t + b_{n} \sin n ω_{0} t) \\ = A_{0} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} A_{n} (\cos θ_{n} \cos n ω_{0} t - \sin θ_{n} \sin n ω_{0} t) \\ = A_{0} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} \cos (n ω_{0} t + θ_{n}) \end{aligned}

傅里叶级数展开说明：周期为 $T$ 的函数 $f_{T} (t)$ 仅包含离散的频率成分
如果 $f_{T} (t)$ 为信号，那么一个周期为 $T$ 的信号可以被分解为一系列以 $ω_{0} = \frac{2 π}{T}$ 为间隔的离散频率的简谐波之和。

当 $T$ 越来越大，取值间隔 $ω_{0} = \frac{2 π}{T}$ 越来越小, $T \to \infty$ 时，周期函数变为非周期函数，离散的频率成分变得无限密集，将离散的求和变为连续函数的积分，引出傅里叶积分

四、相关推导

傅里叶级数的推导

正交基展开视角

傅里叶级数可看成在正交基上的展开。为了突出投影结构，下面把常数项直接记为 $a_{0}$ ：

f (x) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x), 0 \leq x \leq 2 π .

函数族

1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \dots

在 $[0, 2 π]$ 的积分内积下两两正交，且归一化常数为

\int_{0}^{2 π} 1^{2} d x = 2 π, \int_{0}^{2 π} \cos^{2} k x d x = \int_{0}^{2 π} \sin^{2} k x d x = π (k \geq 1) .

因此标准正交形式是

\frac{1}{\sqrt{2 π}}, \frac{\cos x}{\sqrt{π}}, \frac{\sin x}{\sqrt{π}}, \frac{\cos 2 x}{\sqrt{π}}, \frac{\sin 2 x}{\sqrt{π}}, \dots

系数由正交投影给出：

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x) d x,

a_{k} = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (x) \cos k x d x, b_{k} = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (x) \sin k x d x (k \geq 1) .

这与有限维正交矩阵中的 $c = Q^{T} b$ 是同一件事：乘以某个基方向再取内积，其他正交方向都会消去。

Parseval 等式给出能量守恒：

∥ f ∥_{L^{2}}^{2} = \int_{0}^{2 π} | f (x) |^{2} d x = 2 π a_{0}^{2} + π \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) .

截断和

S_{N} (x) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{N} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)

不是随便截掉高频，而是 $f$ 在这些三角基函数张成的有限维子空间中的 $L^{2}$ 最佳逼近。

方波是最典型的分段例子。令

f (x) = {\begin{cases} 1, & 0 < x < π, \\ - 1, & π < x < 2 π, \end{cases}

并按 $2 π$ 周期延拓，则余弦系数为零，正弦系数只在奇数项非零：

f (x) = \frac{4}{π} (\sin x + \frac{\sin 3 x}{3} + \frac{\sin 5 x}{5} + \dots) .

在 $x = π / 2$ 处代入，得到

\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots .

这就是 $π / 4$ 的交错奇数倒数展开。
再由 $∥ f ∥^{2} = 2 π$ 和 Parseval 等式可得奇数倒数平方和

\sum_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 m + 1)^{2}} = \frac{π^{2}}{8} .

收敛边界也必须写清楚：在连续点，满足常见收敛条件的 Fourier 级数收敛到 $f (x)$ ；在跳跃点，级数收敛到左右极限的平均值。例如上面的方波在跳跃处给出 $0$ ，正是 $(- 1 + 1) / 2$ 。在一般 $L^{2}$ 意义下，Fourier 级数保证能量意义的逼近；这不等于每个函数都能在每一点良好地逐点展开。