复变函数项级数

一、复变函数项级数

复变函数项级数：

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z) = f_{1} (z) + f_{2} (z) + \dots + f_{n} (z) + \dots \end{array}

部分和： $S_{n} (z) = f_{1} (z) + f_{2} (z) + \dots + f_{n} (z)$
和：如果对区域 $D$ 内的一个点 $z_{0}$ ，极限 $lim_{n \to \infty} S_{n} (z_{0}) = S (z_{0})$ 存在
$lim_{n \to \infty} f_{n} (z_{0})$ 在 $z_{0}$ 处收敛，则 $S (z_{0})$ 称为级数的和

和函数：如果级数在区域 $D$ 内处处收敛，则它的和一定是 $z$ 的一个函数 $S (z)$ ，称为级数的和函数

二、幂级数

参考：实数意义下的幂级数

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - a)^{n} = c_{0} + c_{1} (z - a) + c_{2} (z - a)^{2} + \dots + c_{n} (z - a)^{n} + \dots \end{array}

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n} = c_{0} + c_{1} z + c_{2} z^{2} + \dots + c_{n} z^{n} + \dots \end{array}

幂级数的敛散性

Abel 定理：如果级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n}$

在 $z = z_{0}$ 处收敛，则对于满足 $| z | < | z_{0} |$ 的 $z$ ，级数必绝对收敛
在 $z = z_{0}$ 处发散，则对于满足 $| z | > | z_{0} |$ 的 $z$ ，级数必发散

收敛圆与收敛半径

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - a)^{n}$ 收敛范围为：以 $a$ 为中心，收敛半径 $R$ 为半径的圆域， $| z - a | < R$
在收敛圆周上的敛散性要具体判断（不要忘记讨论！）

收敛半径的求法

与幂级数类似，本质还是：比值审敛法与根值审敛法的应用

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | & = λ \neq 0 \Rightarrow R = \frac{1}{λ} \end{aligned}

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} & = λ \neq 0 \Rightarrow R = \frac{1}{λ} \end{aligned}

$R$ 为收敛半径

但是也要注意定理的来源，其实还是转化为了常数项级数审敛法的敛散性判断

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1} z^{n + 1}}{c_{n} z^{n}} | & = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | | z | < 1 \\ | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | & = λ \\ | z | & < \frac{1}{λ} = R \end{aligned}

注意区分系数和展开的幂，收敛半径是通过系数定义的

$c_{n}$ 为与 $n$ 有关的系数
$z^{n} (z - a)^{n}$ 为在某点展开的幂

注意|绝对值符号|，因为 Abel 定理保证函数项级数不仅是收敛的，而且是绝对收敛的
而且如果系数为复数，也便于求模，来求收敛半径

三、幂级数的运算及性质

有理运算

$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ ，收敛半径 $R = r_{1}$
$g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} z^{n}$ ，收敛半径 $R = r_{2}$

$f (z) \pm g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) z^{n}$
$f (z) g (z) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} b_{n - i}) z^{n}$
$R = m i n (r_{1}, r_{2})$

代数复合运算

当 $| z | < r$ 时 $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$
当 $| z | < R$ 内 $g (z)$ 解析，且 $| g (z) | < r$
则当 $| z | < R$ 时：

\begin{array}{r} f [g (z)] = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} [g (z)]^{n} \end{array}

常应用于将函数展开成幂级数

四、在收敛圆内的性质

幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，收敛圆 $| z - a | < R$

和函数 $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - a)^{n}$ 是收敛圆 $| z - a | < R$ 内的解析函数

在收敛圆内可以逐项求导

f^{'} (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} (z - a)^{n - 1}

在收敛圆内可以逐项求积分

\int_{a}^{z} f (ζ) d ζ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} (z - a)^{n + 1}

注意

注意，积分限从圆心处开始，积分下限为圆心

五、求解和函数

Question

求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (2^{n} - 1) z^{n - 1}$ 的收敛半径与和函数

lim_{n \to \infty} | \frac{2^{n + 1} - 1}{2^{n} - 1} | = 2 \Rightarrow R = \frac{1}{2}

所以收敛半径为 $R = \frac{1}{2}$ ，当 $| z | < \frac{1}{2}$ 时， $| 2 z | < 1$

\sum_{n = 1}^{\infty} z^{n - 1} = \frac{1}{1 - z} \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n} z^{n - 1} = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} (2 z)^{n - 1} = 2 \cdot \frac{1}{1 - 2 z}

所以原级数：

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} (2^{n} - 1) z^{n - 1} & = \frac{2}{1 - 2 z} - \frac{1}{1 - z} = \frac{1}{(1 - 2 z) (1 - z)} \end{aligned}

Question

求级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n}$ 的收敛半径与和函数

lim_{n \to \infty} | \frac{n + 2}{n + 1} | = 1 \Rightarrow R = 1

所以收敛半径 $R = 1$

在收敛圆内可以逐项积分和求导

\begin{array}{r} \int_{0}^{z} \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n} d z = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n + 1} = \frac{z}{1 - z} \end{array}

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n} = (\frac{z}{1 - z})^{'} \end{array}