有理函数

Rational Function

分子和分母都是多项式，将两个多项式的商 ${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$ 称为有理函数/有理分式

一、有理函数的积分

基本思想： 假分式=多项式+真分式=多项式+部分分式之和

二、可化为有理函数的积分

2.1 三角函数换元

令 $u=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$

2.2 去掉根号换元

含有简单根式 $\sqrt[n]{ax+b}$ 或者 $\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}}$
可以将简单根式换为 $u$，此变换具有反函数，且反函数为有理函数，可化为有理函数的积分。

三、有理分式的分解

有理分式的分解 $f(z)={\displaystyle \frac{z^2-2z+5}{(z-2)(z^2+1)}}$
综合考虑留数法和待定系数法

因为分母 $z^2+1$ 的可能拆分为 $(z+i)(z-i)$
如果完全考虑留数法，代入 $i-i$ 到原函数中计算系数可能会很慢，这一部分可以先待定系数，再留数

$f(z)={\displaystyle \frac{c_1}{z-2}}+{\displaystyle \frac{c_2}{z^2+1}}$

1. 留数计算 $c_1$，$c_1={\displaystyle \frac{z^2-2z+5}{(z^2+1)}}{|}_{z=2}={\displaystyle \frac{5}{5}}=1$

2. 待定系数求 $c_2$， $c_1(z^2+1)+c_2(z-2)=z^2-2z+5\to c_2=-2$
   所以：$f(z)={\displaystyle \frac{1}{z-2}}-{\displaystyle \frac{2}{z^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{z-2}}-({\displaystyle \frac{c_3}{z+i}}+{\displaystyle \frac{c_4}{z-i}})$

3. 留数计算 $c_3,c_4$
   $c_3={\displaystyle \frac{2}{z-i}}{|}_{z=-i}=-{\displaystyle \frac{1}{i}}=i$
   $c_4={\displaystyle \frac{2}{z+i}}{|}_{z=i}={\displaystyle \frac{1}{i}}=-i$

综上：$f(z)={\displaystyle \frac{1}{z-2}}-i({\displaystyle \frac{1}{z+i}}-{\displaystyle \frac{1}{z-i}})$