泰勒公式

泰勒中值定理

Taylor's Formula Taylor 中值定理

使用更高次的多项式函数近似表达较为复杂的函数
可以利用高阶导数和洛必达法则证明

\begin{array}{r} f (x) = P_{n} (x) + R_{n} (x) \end{array}

\begin{array}{r} P_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{k} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} \end{array}

泰勒多项式 $P_{n} (x)$ ：在 $x_{0}$ 处展开（如果 $x_{0} = 0$ 则称为 Maclaurin 公式）
余项 $R_{n} (x)$ ：使用多项式近似的误差，随使用的场景不同，余项有多种形式。（如果使用无限多项的幂函数（幂级数）来表达函数，则不存在误差，得到精确形式：泰勒级数）

如果函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处具有 $n$ 阶导数，则存在 $x_{0}$ 的一个邻域，对该邻域内的任一 $x$ ，泰勒公式的余项为 $(x - x_{0})^{n}$ 的高阶无穷小：

\begin{array}{r} R_{n} (x) = o ((x - x_{0})^{n}) \end{array}

如果函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域 $U (x_{0})$ 内具有 $n + 1$ 阶导数，对任一 $x \in U (x_{0})$ ，泰勒公式的余项可表达为：

\begin{array}{r} R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1} \end{array}

$ξ$ 为 $x_{0}$ 与 $x$ 之间的某个值。特别的，当 $n = 0$ 时，为拉格朗日中值定理。

使用带 Peano 余项的泰勒公式可以进行极限的近似计算

以下常见函数的麦克劳林展开式：

\begin{array}{r} e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + R_{n} (x) \end{array}

\begin{array}{r} \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + (- 1)^{m - 1} \frac{x^{2 m - 1}}{(2 m - 1)!} + R_{2 m} (x) \end{array}

\begin{array}{r} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \dots + (- 1)^{m} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} + R_{2 m + 1} (x) \end{array}