格林公式

Green's Theorem

平面闭区域 $D$ 上的二重积分可以通过沿闭区域 $D$ 的边界曲线 $L$ 上的对弧长的曲线积分来表达。
实际上使用时，常常将第二类曲线积分转换为二重积分计算

\iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \oint_{L} P d x + Q d y

计算特殊的第二类曲线积分（注意要满足定理的使用条件）

四个等价条件：积分与路径无关，交叉偏导为零，环路积分为零，全微分存在原函数

\begin{array}{r} \int_{L} P d x + Q d y 积分与路径无关 \Leftrightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \Leftrightarrow \oint_{L} P d x + Q d y = 0 \Leftrightarrow d u = P d x + Q d y \end{array}

全微分求积：全微分存在原函数

\begin{array}{r} u (x, y) = \int_{(x_{0}, y_{0})}^{(x, y)} P d x + Q d y \end{array}

曲线积分与路径无关，可以选择平行于 $x$ 轴， $y$ 轴的直线进行分段积分：

\begin{array}{r} \int_{(x_{0}, y_{0})}^{(x_{1}, y_{1})} P d x + Q d y = \int_{x_{0}}^{x_{1}} P (x, y_{0}) d x + \int_{y_{0}}^{y_{1}} Q (x_{1}, y) d y \end{array}

曲线积分基本定理：对于势场 $F$ ，曲线积分的值仅依赖于势函数在路径 $L$ 两端的值，而于与路径无关，称为保守场

\begin{array}{r} \int_{L} F \cdot d r = f (B) - f (A) \end{array}