狭义相对论

Special Relativity

狭义相对论是 Albert Einstein 于1905年提出的关于时空和运动的物理理论。它主要处理在惯性参考系中，物体以接近光速运动时的物理现象。狭义相对论的提出，彻底改变了牛顿经典力学对空间和时间的绝对观念。

狭义相对论建立在两个基本假设之上：

相对性原理 Principle of Relativity：所有物理定律在所有惯性参考系中都是相同的。这意味着在任何惯性参考系中进行的物理实验，其结果都将是相同的，无论该参考系处于静止状态还是匀速直线运动状态。
光速不变原理 Principle of the Constancy of the Speed of Light：光在真空中的传播速度 $c$ 对于所有惯性参考系的观察者来说都是常数，与光源的运动状态和观察者的运动状态无关。其精确值为 $c = 299, 792, 458 m/s$ 。

运动的时钟比静止的时钟走得慢。如果一个时钟相对于观察者以速度 $v$ 运动，那么观察者测量到的运动时钟的时间间隔 $Δ t^{'}$ 会比静止时钟的时间间隔 $Δ t_{0}$ 更长：

Δ t^{'} = \frac{Δ t_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = γ Δ t_{0}

其中 $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ 是洛伦兹因子 Lorentz Factor。

物体沿运动方向的长度会收缩。如果一个物体沿其长度方向以速度 $v$ 运动，那么观察者测量到的运动物体的长度 $L^{'}$ 会比其静止长度 $L_{0}$ 更短：

L^{'} = L_{0} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{L_{0}}{γ}

相对论性质量：物体的质量会随其速度的增加而增加。运动质量 $m$ 与静止质量 $m_{0}$ 的关系为：

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = γ m_{0}

然而，现代物理学更倾向于使用“静止质量”和“相对论性动量”的概念，避免使用“相对论性质量”。

质能等价 Mass-Energy Equivalence:这是狭义相对论最著名的结论之一，由方程 $E = m c^{2}$ 表达。它表明质量和能量是同一种物理实体的不同表现形式，可以相互转化。

E = m c^{2}

其中 $E$ 是总能量， $m$ 是相对论性质量， $c$ 是光速。

能量-动量关系 Energy-Momentum Relation：对于一个具有静止质量 $m_{0}$ 和动量 $p$ 的粒子，其总能量 $E$ 满足：

E^{2} = (m_{0} c^{2})^{2} + (p c)^{2}

对于无质量粒子（如光子）， $m_{0} = 0$ ，则 $E = p c$ 。

狭义相对论中的时空坐标变换不再是伽利略变换，而是洛伦兹变换。它描述了在不同惯性参考系之间，事件的空间和时间坐标如何相互关联：

对于沿 $x$ 轴以速度 $v$ 相对运动的两个惯性系 $S$ 和 $S^{'}$ ：

{\begin{cases} x^{'} = γ (x - v t) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c^{2}}) \end{cases}

狭义相对论对物理学产生了深远的影响，它：