Lie Algebra

Lie Algebra 李代数
李代数：Lie Group 的切空间，是Lie 群的局部线性近似。
通常写作小写字母，如李代数 $se (3)$ 对应于李群的 $S E (3)$ 。

\mathfrak{}   \mathfrak{se}

Lie 群描述全局运动（非线性），李代数描述局部运动（线性）。

Lie 群	群元素形式	李代数	指数映射形式
$S O (2)$	$2 \times 2$ 旋转矩阵	$ω \in R$	$R = \exp (\hat{ω} θ)$
$S O (3)$	$3 \times 3$ 旋转矩阵	$ω \in R^{3}$	Rodrigues 公式
$S E (2)$	$3 \times 3$ 刚体变换矩阵	$[v, ω] \in R^{3}$	平面运动公式
$S E (3)$	$4 \times 4$ 刚体变换矩阵	$[v, ω] \in R^{6}$	雅可比矩阵形式
$R^{n}$	向量加法	向量本身	指数映射为恒等映射

群元素：二维旋转矩阵

R (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

李代数：李代数 $so (2)$ 的元素：

\hat{ω} = [\begin{matrix} 0 & - ω \\ ω & 0 \end{matrix}]

指数映射：

R (θ) = \exp (\hat{ω} θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

群元素：三维旋转矩阵

R \in S O (3) 满足 R^{T} R = I, det (R) = 1

李代数：李代数 $so (3)$ 的元素（反对称矩阵）：

\hat{ω} = [\begin{matrix} 0 & - ω_{z} & ω_{y} \\ ω_{z} & 0 & - ω_{x} \\ - ω_{y} & ω_{x} & 0 \end{matrix}]

指数映射（使用 Rodrigues 公式）：

R = \exp (\hat{ω} θ) = I + \frac{\sin θ}{θ} \hat{ω} + \frac{1 - \cos θ}{θ^{2}} {\hat{ω}}^{2}

对数映射：给定旋转矩阵 $R$ ，其旋转轴 $ω$ 与旋转角度 $θ$ 满足：

θ = \cos^{- 1} (\frac{tr (R) - 1}{2})

旋转向量：

ω = \frac{θ}{2 \sin θ} [\begin{matrix} R_{32} - R_{23} \\ R_{13} - R_{31} \\ R_{21} - R_{12} \end{matrix}]

群元素： $R (θ)$ 为 $S O (2)$ 旋转矩阵， $t \in R^{2}$ 为平移向量。

T = [\begin{matrix} R (θ) & t \\ 0 & 1 \end{matrix}] \in S E (2)

李代数：李代数 $se (2)$ 的元素：

ξ^{\land} = [\begin{matrix} 0 & - ω & v_{x} \\ ω & 0 & v_{y} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

指数映射：

T = \exp (ξ^{\land})

当 $ω \neq 0$ 时，有：

T = [\begin{matrix} R (θ) & V t \\ 0 & 1 \end{matrix}]

其中：

V = \frac{1}{ω} [\begin{matrix} \sin ω & - (1 - \cos ω) \\ 1 - \cos ω & \sin ω \end{matrix}]

群元素： $R \in S O (3)$ ， $t \in R^{3}$ 。

T = [\begin{matrix} R & t \\ 0 & 1 \end{matrix}] \in S E (3)

李代数： $se (3)$ 的元素， $\hat{ω} \in so (3)$ ， $v \in R^{3}$

ξ^{\land} = [\begin{matrix} \hat{ω} & v \\ 0 & 0 \end{matrix}]

指数映射：

T = \exp (ξ^{\land}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{ω}) & J v \\ 0 & 1 \end{matrix}]

其中， $J$ 为平移部分的雅可比矩阵：

J = I + \frac{1 - \cos θ}{θ^{2}} \hat{ω} + \frac{θ - \sin θ}{θ^{3}} {\hat{ω}}^{2}

对数映射：给定刚体变换矩阵 $T$ ，旋转部分用 $R$ ，平移部分用 $t$

\hat{ω} = \log (R)

旋转角度 $θ$ 同上，计算 $J^{- 1}$ ，得到：

v = J^{- 1} t

当只涉及平移，没有旋转时，李群退化为欧式空间，群运算为向量加法，李代数就是自己。