逆矩阵

Inverse Matrix

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ , 如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ :

\begin{array}{r} A B = B A = E \end{array}

则称矩阵 $A$ 可逆，并将矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{- 1}$

运算性质

矩阵 $A$ 可逆 $\leftrightarrow$ $| A | \neq 0$ $\leftrightarrow$ $A$ 为非奇异矩阵 $\leftrightarrow$ $A$ 满秩

\begin{matrix} A A^{- 1} = E | A | | A^{- 1} | = 1 \end{matrix}

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ ,其逆矩阵 $A^{- 1}$ 满足以下性质：
$(A^{- 1})^{- 1} = A$
$(λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}$
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ ，其中 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵。
$( A^T) ^{- 1}= ( A^{- 1}) {#T}$

计算矩阵的逆

1. 伴随矩阵计算

\begin{array}{r} A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*} \end{array}

\begin{array}{r} A A^{*} = A^{*} A = | A | E \Rightarrow \frac{1}{| A |} A^{*} A = E \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*} \end{array}

伴随矩阵 $A^{*}$ 为矩阵 $A$ 的各个元素对应的代数余子式的转置排列

余子式 $M_{i j}$ ：为去掉行 $i$ 和列 $j$ 的子矩阵
代数余子式 $C_{i j}$ ： $C_{i j} = (- 1)^{i + j} | M_{i j} |$ 为余子式的行列式（加上由于排列产生的正负号）

\begin{array}{r} A^{*} = (\begin{array}{c} C_{11} & C_{21} & \dots & C_{n 1} \\ C_{12} & C_{22} & \dots & C_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{1 n} & C_{2 n} & \dots & C_{n n} \end{array}) \end{array}

2. 初等变换

\begin{array}{r} (A ∣ I) \leftrightarrow (I ∣ A^{- 1}) \end{array}

3. 分块矩阵求逆

分块矩阵求逆涉及到将一个大矩阵分解成若干个小矩阵（块），然后对这些块进行操作以求得原矩阵的逆。假设有一个分块矩阵 $A$ ，它可以被分为四个块：

A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{21} \end{matrix})

其中 $A_{11}$ , $A_{12}$ , $A_{21}$ , 和 $A_{22}$ 都是子矩阵。为了求 $A$ 的逆，需要满足： $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 都需要是可逆的。如果 $A_{11}$ 或 $A_{22}$ 不可逆，那么可能需要使用其他方法来求逆，或者矩阵可能根本没有逆。

A^{- 1} = (\begin{matrix} (A_{11} - A_{12} A_{22}^{- 1} A_{21})^{- 1} & - A_{11}^{- 1} A_{12} (A_{22} - A_{21} A_{11}^{- 1} A_{12})^{- 1} \\ - A_{22}^{- 1} A_{21} (A_{11} - A_{12} A_{22}^{- 1} A_{21})^{- 1} & (A_{22} - A_{21} A_{11}^{- 1} A_{12})^{- 1} \end{matrix})

这个公式是基于 Schur 补的概念，其中 $A_{11} - A_{12} A_{22}^{- 1} A_{21}$ 和 $A_{22} - A_{21} A_{11}^{- 1} A_{12}$ 是 Schur 补。

实际应用

逆矩阵在许多数学和工程问题中具有重要作用，用于求解线性方程组、计算矩阵方程、分析线性变换、进行数据变换和优化等。逆矩阵的计算和应用是线性代数的重要部分，也是许多科学和工程计算的基础。 $A X B = C$ $X = A^{- 1} C B^{- 1}$

编程语言实现

import numpy as np
np.linalg.inv(A)