龙格-库塔法

Runge-Kutta Methods
是一组数值方法，主要用于求解微分方程的初值问题。这些方法通过在数值上近似微分方程的解，提供了一种在特定时间步长下计算函数值的手段。
作为欧拉法的扩展，提供更高阶的精度和更好的稳定性。

基本思想

每个时间步长内，通过在不同的点计算导数的近似值，然后利用这些值的组合来预测下一个时间点的解

将欧拉法的形式抽象出来，类似于拉格朗日中值定理的形式：
如果将 $\mathrm{\Delta }x$ 写为 $h$，作为采样率，记 $y^{\prime }=f(x,y)$

平均斜率：

第四阶方法 (RK4)

经典龙格-库塔法 (Classical Runge-Kutta Methods):
如 RK2、RK3、RK4，其中 RK4 是最常用的方法。

经典龙格-库塔第四阶方法的迭代公式为：
$k_1=h\ast f(x_n,y_n)$
$k_2=h\ast f(x_n+{\displaystyle \frac{h}{2}},y_n+{\displaystyle \frac{k_1}{2}})$
$k_3=h\ast f(x_n+{\displaystyle \frac{h}{2}},y_n+{\displaystyle \frac{k_2}{2}})$
$k_4=h\ast f(x_n+h,y_n+k_3)$
$y_{n+1}=y_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

h是步长

特点 (Characteristics)

1. 多阶段 (Multi-stage): 龙格-库塔法通过多个阶段来近似导数，提高了计算的精度。
2. 自适应步长 (Adaptive Step Size): 可以根据误差估计调整步长，以控制误差在可接受的范围内。
3. 稳定性 (Stability): 某些龙格-库塔方法具有良好的稳定性，适用于刚性方程。

龙格-库塔法是数值分析中的核心工具之一，随着计算技术的发展，这些方法在求解微分方程方面变得更加高效和精确。